Погрешность функции

Требования к лабораторным работам

Лабораторные работы по курсу «Численные методы» («Методы вычислений») рассчитаны на два семестра. Для успешного выполнения каждой работы необходимо:

· Знать теоретический материал, относящийся к лабораторной работе.

· Иметь работающую программу, реализующую алгоритмы, указанные в задании лабораторной работы, написанную на языке высокого уровня (предпочтительно использовать компиляторы C\С++, C#, Pascal\Object Pascal\Delphi). Не следует использовать системы компьютерной математики, типа MATLAB, Mathсad, Maple и др. Исходные коды программы должны быть снабжены подробными комментариями для всех её алгоритмов, процедур и функций, а также содержать фамилию автора, дату реализации. Для некоторых работ дополнительно может потребоваться графический вывод результатов вычислений.

· Составить несколько наборов тестовых значений входных параметров и привести результаты тестирования программы с этими параметрами (не менее 4–5 вариантов для каждой лабораторной работы).

· Знать правильные ответы на все дополнительные вопросы, если они имеются в тексте задания.

погрешность функции

Определения. Пусть — точное значение некоторой вечины, — её приближенное значение, тогда

называют, соответственно, абсолютной и относительной погрешностями приближения

Значащими цифрами числа называются все цифры, начиная с первой ненулевой слева. Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа меньше или равна половине единицы разряда, соответствующего этой цифре. Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от числа верных значащих цифр. Поэтому, если приближенное число содержит излишнее количество значащих цифр, прибегают к его округлению. Практически применяется принцип академика А.Н.Крылова: приближенное число должно записываться так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верными и лишь последняя была бы сомнительна, и притом не более чем на одну единицу.

Постановка задачи: задана дифференцируемая функция

(1)

аргументы которой определены не точно, с погрешностями . Требуется определить значение погрешности функции (1) при заданных значениях аргументов и их погрешностей.

Абсолютная и относительная погрешности функции определяются приближенными формулами

(2)

Дополнительные вопросы:

1. Для числа 11,0637, заданного с абсолютной погрешностью 0,0001, определить значащие и верные цифры.

2. Архимедом было найдено приближенное значение числа π, равное 22/7. Определить абсолютную и относительную погрешность этого результата.

3. Функция Delphi Round

function Round(X: Extended): Int64

округляет действительное число до ближайшего к нему целого. Объяснить следующие результаты:

Round(1.5) = 2; Round(2.5) = 2; Round(3.5) = 4.

4. Обосновать и вывести формулы (2).

5. С каким количеством значащих цифр нужно взять число , чтобы абсолютная погрешность не превышала 0,0001?

6. Назовите причины возникновения погрешностей при компьютерных расчетах.

7. Обратная задача теории погрешностей состоит в определении такой величины погрешности аргументов функции, чтобы погрешность функции не превышала заданной величины. Дополнительным условием обычно является принцип равных влияний — считают, что дифференциалы функции вносят одинаковый вклад в общую погрешность функции:

Решить следующую задачу: найти допустимые погрешности измерений радиуса основания и высоты при изготовлении цилиндрической банки пива, чтобы ее вместимость отличалась от 0,5 литра не более, чем на 5 миллилитров.