Основные понятия и определения. Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

(1)

где - произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением системы называется такая совокупность n чисел, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Пример:

1) 2) 3)

Две системы называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Запишем систему (1) в матричной форме. Обозначим:

; ; ,

где А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы; Х – матрица-столбец переменных; В – матрица-столбец свободных членов.

Систему (1) можно записать в виде: АХ = В.

2. Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.

Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных, т.е. m=n. Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель называется главным определителем системы.

Умножая слева обе части матричного равенства на матрицу А^-1, получим А^-1(АХ)=А^-1В. Так как А^-1(АХ)=(А^-1А)Х=ЕХ=Х, то решением системы методом обратной матрицы будет матрица столбец Х=А^-1В.

Пусть дана система трех линейных алгебраическихуравнений с тремя неизвестными :

(2)

(коэффициенты a_ij и свободные члены b_j для i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 считаются заданными).

Тройка чисел называется решением системы (2), если в результате подстановки этих чисел вместо все три уравнения системы обращаются в тождества.

Систему (2) можно переписать в матричном виде:

, или AX = B,

где A – это матрица коэффициентов при неизвестных, Х – столбец неизвестных, В – столбец свободных членов:

Составим определитель матрицы А и три вспомогательных определителя:

(3)

Вспомогательные определители Δ₁, Δ₂ и Δ₃ получаются из Δ заменой элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов.

Если определитель , то существует единственное решение системы (2) и оно выражается формулами:

(4)

Теорема Крамера. Пусть - главный определитель системы, а - определитель матрица, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

(5)

Формулы (5) называются формулами Крамера.

Пример: Решить систему уравнений а)методом обратной матрицы; б) по формулам Крамера.

3. Метод Гаусса.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. Рассмотрим матрицу

,

называемую расширенной матрицей системы (1), потому что в нее кроме матрицы системы А, дополнительно включен столбец свободных членов.

Пример:

Расширенная матрица системы имеет вид:

Шаг 1. Так как , то умножая первую строку на числа -2, -3, -2 и прибавляя полученные строки соответственно ко второй, третьей, четвертой строкам, исключим переменную х₁ из всех строк, начиная со второй. Заметив что в новой матрице , поменяем местами вторую и третью строки:

Шаг 2. Так как теперь , то умножая вторую строку на -7/4 и прибавляя полученную строку к четвертой, исключим переменную х₂ из всех строк, начиная с третьей:

Шаг 3. Учитывая, что , умножаем третью строку на 13,5/8=27/16, и прибавляя полученную строку к четвертой, исключим из нее переменную х₃. Получим систему уравнений

откуда найдем из четвертого уравнения х₄ =-2; из третьего ; из второго и из первого уравнения .