2015-02-04
2007
Кинетическая энергия вращения. Момент инерции материальной точки и тела относительно неподвижной оси.
Пусть материальная точка массой m движется вокруг некоторой оси по окружности радиуса r со скоростью υ. Тогда кинетическую энергию точки с учетом связи линейной и угловой скоростей υ =ω·r можно записать так:
, где величина J=m·r2 называется моментом инерции материальной точки.
Моментом инерции тела относительно оси называется сумма моментов инерции элементов (материальных точек), из которых состоит тело: 
.
Момент инерции сплошного тела определяют интегрированием по всему объему (по всем материальным точкам): 
.
Если тело имеет плотность ρ, то последнее равенство можно представить в виде:
, где учтено, что d т= ρ·dV.
Момент инерции сплошного цилиндра массой т и радиуса основания R относительно оси, проходящей через центр масс цилиндра параллельно его образующей, рассчитанный по этой формуле, равен: 
.
Для сплошного шара массой т и радиуса R момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс шара, равен: 
.
|
|
|
Момент инерции для стержня длиной ℓ и массой т относительно оси, проходящей через центр масс стержня перпендикулярно ему,: 
.
Момент инерции J тела характеризует, с одной стороны, инертные свойства тела при вращательном движении, а с другой стороны, распределение вещества в пространстве относительно оси. Момент инерции, так же как и масса тела, является аддитивной величиной.
Если известен момент инерции Jo тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то можно найти его момент инерции относительно любой другой параллельной ей оси: J = J0 + m·d 2, где d – расстояние между осями.
Последнее равенство выражает теорему Штейнера: момент инерции относительно любой оси вращения равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния центра масс тела от оси вращения.
Из теоремы Штейнера очевидно, что всегда J>J0, т.е. минимальное значение момента инерции достигается для оси, проходящей через центр масс.
Единицей момента инерции в системе СИ служит 1 кг·м2.
Если тело катится, то кинетическая энергия такого тела определяется поступательным движением тела как целого и вращением относительно движущейся оси:
.
