Интервальные оценки параметров нормального распределения

Для выборок небольшого объема вопрос точности оценок решается с помощью интервальных оценок.

При этом по вычисленной точечной оценке a* параметра a при заданной вероятности γ, называемой доверительной вероятностью, а также по некоторому числу ε зависящему от γ и a*, строят интервал для истинного параметра a:

a* - 𝜀 < a < a* + 𝜀,

чтобы выполнялось равенство:

P (a* - 𝜀 < a < a* + 𝜀) = γ.

Число 𝜀называется точностью оценки a*, границы интервала a* - 𝜀и a* + 𝜀 называются доверительными границами, интервал (a*- 𝜀 и a* + 𝜀) – доверительным интервалом, вероятность γ - доверительной вероятностью или надежностью интервальной оценки.

Определение 7. Интервальной оценкой математического ожидания m нормального распределения при известной дисперсии σ ² называется интервал

( - 𝜀; + 𝜀), ε = z_γ · ,

удовлетворяющий равенству:

Р ( - 𝜀 < m < + 𝜀) = 𝛾,

где γ – заданная доверительная вероятность; m – истинное математическое ожидание; – точечная оценка математического ожидания; n – объем выборки; число z_γ находится из уравнения Ф (z_γ) = с помощью табл. П 2.2 функции Лапласа Ф (x), см. приложение 2.

Следовательно, интервальная оценка математического ожидания находится по формуле:

- z_γ· < m < + z_γ· .

Определение 8. Интервальной оценкой математического ожидания m нормального распределения при неизвестной дисперсии называется интервал

( - 𝜀; + 𝜀), ε = t_γ · ,

удовлетворяющий равенству:

Р ( - 𝜀 < m < + 𝜀) = 𝛾,

где γ – заданная доверительная вероятность; m – истинное математическое ожидание; – точечная оценка математического ожидания; s² – точечная оценка дисперсии; n – объем выборки; число t_γ вычисляется из уравнения

,

с помощью табл. П 2.3 распределения Стьюдента (см. приложение 2).

Следовательно, интервальная оценка математического ожидания с доверительной вероятностью γ вычисляется по формуле:

- _γ· < m < + t_γ· .

Определение 9. Интервальной оценкой среднего квадратического отклонения σнормального распределения называется интервал

( - 𝜀; + 𝜀), ε = q_γ · ,

удовлетворяющий равенству:

Р ( - 𝜀 < 𝜎 < + 𝜀) = 𝛾,

где γ – заданная доверительная вероятность; s² – исправленная выборочная дисперсия; n – объем выборки; число q_γ определяется из табл. П 2.4 (см. приложение 2).

Следовательно, интервальная оценка среднего квадратического отклонения находится по формулам:

s (1 – q _γ) < 𝜎 < s (1 + q _γ), если q _γ < 1,

0 < 𝜎 < s (1 + q _γ), если q _γ > 1.