Количественная оценка степени идентичности модели реальному объекту

При построении математической модели приходится учитывать только основные, определяющие факторы и отбрасывать второстепенные. К основным факторам относят те входные переменные, которые оказывают доминирующее влияние на выходную переменную. Естественно, что полученное математическое описание всегда беднее реального объекта и отражает только те его основные закономерности, которые необходимы для решения конкретной задачи. Причем для решения различных задач одного и того же объекта могут быть построены различные математические описания.

Кроме того, математическое описание различных процессов может быть одинаковым, несмотря на то, что физическая природа этих объектов различна. Например, одними и теми же дифференциальными уравнениями описываются различные физические, химические, механические и т.д. системы. Тогда можно говорить о степени изоморфности (соответствия, подобия, адекватности) модели объекту. Так как мы рассматриваем модели, построенные методами идентификации, будем использовать термин «степень идентификации».

Реальные процессы представляют собой сложные объекты с большим количеством взаимосвязанных переменных, причем учесть все невозможно. Поэтому возникает вопрос, какие и сколько переменных должно быть включено в модель, а какими можно пренебречь. Включение каждого фактора связано с большим объемом исследований по получению реализаций и статистической обработке, это требует значительных затрат времени и средств. Степень идентичности должна обеспечивать решение конкретной задачи, то есть нам необходимо из всех возможных видов описания объекта выбрать такой, который был бы максимально простым в смысле его реализации и, с другой стороны, давал бы возможность решить поставленную задачу. Например, если идет речь об управлении качеством какого-либо изготавливаемого продукта, который характеризуется дисперсией выходных переменных, то очевидно, модель, полученная при идентификации, должна давать возможность рассчитывать выходную переменную с точностью, которая характеризуется этой дисперсией.

Оценку точности определения выходной переменной производят по дисперсии условного математического ожидания или математическому ожиданию условной дисперсии (остаточной дисперсии). Значит, эта характеристика может быть использована в качестве характеристики степени соответствия, идентичности модели объектов. Но дисперсия может принимать значения от нуля до бесконечности, что неудобно для практического применения. Естественно ввести ограничения и потребовать, чтобы количественная мера степени идентичности принимала значения от 0 до 1 (0 полное несоответствие, 1– полное соответствие, то есть функциональная зависимость). Поэтому в качестве меры степени идентичности применяют отношение дисперсии условного математического ожидания выходной переменной y(t) относительно входной переменной x(t) к дисперсии выходной переменной y(t).

В одномерном случае оптимальный по критерию минимума среднеквадратичного отклонения оператор дает условное математическое ожидание y(t) относительно совокупности значенийx(t):

(20.1)

Тогда в качестве оценки степени идентичности модели (20.1) объекту

принимают отношение

, (20.2)

где - дисперсия условного математического ожидания значения выходной переменнойy(t) относительно значения входной переменной x(t) при соответствующих значениях аргумента t, то есть относительно совокупности значений х при всех аргументах sв T; D{y(t)} - дисперсия выходной переменнойy(t).

В (20.2) по определению

то есть математическое ожидание квадрата отклонения поверхности регрессии выходной переменнойy(t) в момент tотносительно совокупности значений входной функции x(s) для всех s от математического ожидания y(t).

Дисперсия условного математического ожидания характеризует ту часть общей дисперсии выхода y(t), которая вызвана влиянием всей совокупности значений входа x(s) для всех s изT.

Общая дисперсия может быть представлена таким образом

(20.3)

Имеем

Из (20.2), учитывая (20.3) получим

.

Тогда

(20.4)

- количественная характеристика степени неидентичности модели объекту.

Из определений (20.2), (20.4), учитывая (20.3), имеем

Действительно, если модель построена на основе учитываемой информации x(t), которая не связана или слабо связана с y(t), что характеризуется большими значениями по сравнению с D{M{y/x}}, то степень идентичности будет мала или равна нулю, а степень неидентичности значительна или равна единице.

Мера степени идентичности дает количественную оценку степени наших знаний об объекте, степени его формализации.

Список литературы

1. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. – М.:Энергия, 1979.

2. Гроп Д. Методы идентификации систем управления. – М.: Мир, 1979.

3. Сейдж А., Мелса Дж. Идентификация систем. – М.: Наука, 1974.

4. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры.- М.: Сов. Радио, 1980.

5. Рабинер Л., Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов – М., Мир,1978.

6. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. – М.: Мир, 1983.

7. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. – М.: Наука, 1984.

8. Химмельблау Д, Анализ процессов статистическими методами. – М., Мир, 1973.

9. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. – М., Мир, 1986.

10. Хартман К., Лецкий Э., Шефер В. и др. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. – М., Мир, 1977.

11. Серов, Е.П., Корольков Б.П. Динамика парогенератора. - М., Энергия, 1977.

12. Плютинский В.И., Погорелов В.И. Автоматическое управление и защита теплоэнергетических установок АЭС. - М., Энергоатомиздат, 1983.

13. Кафаров В.В., Перов В.А., Мешалкин В.П. Принципы математического моделирования химико-технологических систем. - М., Химия, 1976.

14. Профос П. Регулирование паросиловых установок. = М.: Мир, 1976.

15. Лазарев Ю. MatLab 5.x – К.: Изд.группа ВHV, 2000.

16. Бенькович Е., Колесов Ю., Сениченков Ю. Практическое

моделирование динамических систем. – СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

17. MATLAB 6.5SP1/7.06 Simulink 5/6 в математике и моделировании. – М.: СОЛОН-Пресс, 2005.

18. Ибраева Л.К. Основные приемы работы в среде MatLab. Методический практикум – Алматы: АИЭС, 2004.

19. Ибраева Л.К. Моделирование и идентификация объектов управления. Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности «Автоматизация и информатизация систем управления» - Алматы: АИЭС, 2005.

20. Ибраева Л.К. Моделирование и идентификация объектов управления.

Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальности «Автоматизация и управление» - Алматы: АИЭС, 2007.

21. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. – М.: Физматгиз, 1960.