Среди различных типов случайных процессов можно выделить некоторые, которые полностью характеризуются простейшими плотностями вероятности. Примером процесса, полностью определяемого одномерной плотностью вероятности, является «белый шум». Его сечения в различные моменты статистически независимы, поэтому их совместная n-мерная плотность вероятности:
Это означает, что при любом n n-мерная плотность вероятности однозначно определяется одномерной плотностью. Следующий по сложности процесс получается, когда вся информация о нем содержится в двумерной плотности вероятности . Такими являются гауссовские процессы и простые Марковские случайные процессы; n-мерная плотность вероятности гауссовского случайного процесса определяется формулой:
(*)
где – математическое ожидание и дисперсия в случайном процессе i -сечения;
– определитель корреляционной матрицы R.
– коэффициент корреляции между i и k сечениями процесса.
– алгебраическое дополнение определителем элементов .
Для определения корреляционной функции процесса требуется знание двумерной плотности распределения. Математическое ожидание определяется одномерной плотностью распределения, которую по двумерной плотности можно вычислить так:
По известной корреляционной функции можно построить матрицу R, а по матрице R, математическому ожиданию, формуле (*) можно записать плотность вероятности любой мерности n. Поскольку в соответствие с формулой (*) n-мерная плотность распределения гауссовского процесса при любом n полностью определяется его математическим ожиданием и корреляционной функций, при стационарности такого процесса в широком смысле, он одновременно стационарен и в узком смысле. В том случае, когда n=1 , в формуле (*) , , в результате одномерной плотности распределения гауссовского процесса можно записать в виде:
(**)
Важным свойством гауссовского процесса является следующее: некорреляционные сечения являются независимыми. Действительно, сели все сечения гауссовского процесса некорреляционны при , то матрица R является единичной. Следовательно, , . Учитывая это, а также тот факт, что сумма аргументов exp соотносит произведение exp со слагаемыми аргументами, формулу (*) можно записать так:
С учетом выражения (**) последний результат принимает вид:
,
что является условием статистической независимости отдельных сечений процесса.
Ещё одно важное свойство гауссовского процесса заключается в следующем: случайнsй процесс Y (t) представляет собой линейную комбинацию L-гауссовских процессов:
,
т.е. описывается такой формулой, где – детерминированные функции времени также являются гауссовскими. При стационарности процессов процесс заведомо стационарен лишь при . Это свойство в частности означает, что сумма гауссовских процессов также представляет собой гауссовский процесс.
Сигналы и аддитивные помехи в каналах связи часто предполагаются нормальными или гауссовскими случайными процессами. Это объясняется тем, что случайные значения реальных физических процессов обусловлены чаще всего суммой большого числа слабокоррелированных слагаемых с ограниченной средней дисперсией и значениями. По центральной предельной теореме распределение вероятностей результирующего процесса в таких же условиях сколь угодно близко приближается к гауссовскому (тем ближе, чем больше слагаемых участвует в образовании этого процесса).
Отличительной особенностью простого Марковского случайного процесса являются минимальные последствия. Для него вероятность нахождения X в заданном интервале значений момента tn зависит только от состояния процесса в предшествующий момент tn-1 .
Иначе говоря, совместная n-мерная плотность вероятности простого Марковского случайного процесса определяется:
совместной двумерной плотностью вероятности , т.к по ней можно определить условие перехода плотности вероятности:
Теория Марковских процессов хорошо разработана и используется в теории связи. В частности, при некоторых дополнительных условиях можно показать, что переходная плотность вероятности удовлетворяет дифференциальному уравнению 2 порядка частных производных:
при начальном условии вида .
– коэффициенты, которые могут быть определены из системы сахостических дифференциальных уравнений, описывающих процесс. Приведенное уравнение называется уравнением Фокера-Планка-Колмогорова.
Первоначально, это уравнение применялось для изучения поведения броуновских частиц, поэтому его часто называют диффузионным, а коэффициента – коэффициенты сноса и диффузии соответственно.
Марковские процессы, удовлетворяющие этому уравнению, называют диффузионными. В общем случае, – это нестационарные процессы. Для стационарного процесса коэффициенты А1, А2 не зависят от времени.
В зависимости от вида А1и А2 диффузионный Марковский процесс может иметь различные распределения вероятностей. В частности, он может быть гауссовским. Имеет место следующая теорема: «Для того чтобы стационарный гауссовский процесс был Марковским, необходимо и достаточно, чтобы его коэффициент корреляции был exp-ной функцией , т.е. , где ».