2015-02-04
476
Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.
Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число
называется модулем комплексного числа z и обозначается символом | z |.
Число
называем аргументом комплексного числа z и обозначаем символом θ = arg z. При заданном r углы, отличающиеся на 
, соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываем 
называем главным значением аргумента.
Числа r и θ называют полярными координатами комплексного числа z. В этом случае
z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r (cos θ + i sin θ)
называется тригонометрической формой комплексного числа.
Если z 1 = (r 1 cos θ 1, r 1 sin θ 1), z 2 = (r 2 cos θ 2, r 2 sin θ 2), то
z 1 z 2 = (r 1 r 2 cos(θ 1 + θ 2), r 1 r 2 sin(θ 1 + θ 2)),
Для n -й степени числа z = (r cos θ, r sin θ) формула приобретает вид zn = (rn cos nθ, rn sin nθ).
При r = 1 соотношение приобретает вид zn = (cos nθ, sin nθ) и называется формулой Муавра.
|
|
|
Корень n -й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле
(1)
24. +
25. +
26. +
27. +
28.
29.
30.
31. Интегрирование функции комплексной переменной
Пусть функция f (z) – определена и непрерывна в области G, а G – кусочно-гладкая кривая, лежащая в области G; z=x+iy, f(z)=u+iv, где u=u(x,y), v=v(x,y) – действительные функции переменных x и y. Вычисление интеграла от функции w=f(z) сводится к вычислению криволинейных интегралов второго рода
Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t),а начальная и конечная точки дуги соответствуют значениям t=a, t=b, то
где z(t)=x(t)+iy(t).
Пусть Г – кусочно-гладкая кривая, состоящая из гладких частей Г1, Г2...Гn. Тогда
