2015-02-04
2751
Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).
Функция, аналитическая в области комплексных чисел D, в окрестности каждой точки z 0 этой области представляется в виде степенного ряда:
(1)
радиус сходимости R которого не меньше, чем расстояние от точки z 0 до границы области D.
Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.
Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:
(2)
где 
- произвольный контур, принадлежащий области D и охватывающий точку z 0 (в частности, - окружность 
), или по формуле:
(3)
Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z 0 до ближайшей особой точки функции.
Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:
Основные разложения.
(z принадлежит области комплексных чисел);
(z принадлежит области комплексных чисел);
(z принадлежит области комплексных чисел);
(z принадлежит области комплексных чисел);
(z принадлежит области комплексных чисел);
33.
34. Изолированные особые точки. Ряд Лорана.
Точка z 0, принадлежащая области комплексных чисел, называется изолированной особой точкой функции f (z), если 
такая, что f (z) является однозначной аналитической функцией в 
(в самой точке аналитичность f (z) нарушается).
Изолированная особая точка z 0 функции f (z) называется:
· устранимой особой точкой, если 
существует и конечен;
· полюсом, если 
;
· существенно особой точкой, если не существует.
· Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).
Функция f (z), аналитическая в кольце
r < | z - z 0 | < R, 
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:
(1)
Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: 
(2)
где 
- произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z 0; в частности,
- окружность 
Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f (z).
Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями 
называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:
или 
Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:
где 
- радиус контура интегрирования в формуле (2).
На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f (z) - его суммы.
Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z 0 (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z 0 = 0, 
).
При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.
Для того чтобы особая точка функции f (z) была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если z 0 - устранимая особая точка, то ряд Лорана функции f (z) имеет вид: 
(1)
для z 0 - конечной точки, принадлежащей области комплексных чисел.
Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов.
Ряд Лорана функции f (z) в случае z 0-полюс имеет вид:
(2)
если z 0 принадлежит области комплексных чисел.
Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.
Так, точка z 0 является полюсом порядка n функции f (z), если в разложении (2) 
, Ck = 0 при k < - n.
Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции f (z) в случае z 0 - существенно особой точки имеет вид: 
(3)
если z 0 принадлежит области комплексных чисел.
35. Вычеты, их вычисление. Основная теорема теории вычетов.
Вычетом функции 
в изолированной точке 
называется интеграл
 |
где 
- замкнутый контур, содержащий одну особую точку .
Вычетом функции в точке 
называется интеграл
 Основные формулы для нахождения вычетов: 1. Если а – устранимая особая точка для функции f (z), то  2. Если а – полюс первого порядка функции f (z), то  В частности, если  ,где (z) и(z) – регулярные в точке а функции, причем а  , а) а) , то точка а является простым полюсом функции f (z) и  3. Если точка а – полюс порядка т  1 для функции f (z), то  . В частности, если  , h (z) – регулярна в точке а, h (а) 0, то справедлива формула  . 4. Если f (z) регулярна в точке z =  , то  ,где  . 5. Если функция f (z) представима в виде  ,где функция  регулярна в точке =0, то  Приведем еще одну, важную для практического вычисления вычетов теорему. Теорема. Если z=a (а ) – изолированная особая точка однозначного характера функции f (z), то  ,где с–1 – коэффициент при  в ряде Лорана функции f (z) в окрестности точки z=a и  ,где с-1 – коэффициент при  в ряде Лорана функции f (z) в окрестности точки z = . |
Основная теорема о вычетах: если функция является аналитической всюду в замкнутой области 
, за исключением конечного числа изолированных особых точек 
, лежащих внутри , то
 |
36. Вычисление интегралов с помощью вычетов
Пусть функция 
аналитична в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек 
, лежащих в верхней полуплоскости. При этих условиях мы рассмотрим способы вычисления интегралов
, 
.
Теорема 1. Пусть функция удовлетворяет перечисленным выше условиям и, кроме того, 
при 
, где 
и 
- достаточно большое число. Тогда
. (1)
Доказательство. Опишем полуокружность 
(ориентированную против часовой стрелки) радиуса с центром в точке 
так, чтобы все особые точки функции попали внутрь (рис. 149). В силу теоремы 1 § 6.13
. (2)
Так как при , то
, 
.
Переходя к пределу в равенстве (2) при , получим (1).
Теорема 2. Пусть функция удовлетворяет условиям, отмеченным в начале параграфа и 
равномерно относительно 
. Тогда
. (3)
Доказательство. Так же как при доказательстве теоремы 1, имеем
(4)
(функция 
имеет те же особенности, что и ).
Нам нужно доказать, что при интеграл 
стремится к нулю. Имеем
.
В силу условия теоремы 
при 
для всех 
(
) и достаточно большого 
. Поэтому (
при 
)
.
Переходя к пределу в (4), при получаем (3).
Если функция имеет особенности на действительной оси, то специальным построением контура интегрирования можно вычислить соответствующие интегралы, если они существуют.
