Разложение в степенной ряд

Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).

Функция, аналитическая в области комплексных чисел D, в окрестности каждой точки z ₀ этой области представляется в виде степенного ряда:
(1)

радиус сходимости R которого не меньше, чем расстояние от точки z ₀ до границы области D.
Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.

Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:

(2)

где - произвольный контур, принадлежащий области D и охватывающий точку z ₀ (в частности, - окружность ), или по формуле:

(3)

Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z ₀ до ближайшей особой точки функции.

Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:

Основные разложения.

(z принадлежит области комплексных чисел);

(z принадлежит области комплексных чисел);

(z принадлежит области комплексных чисел);

(z принадлежит области комплексных чисел);

(z принадлежит области комплексных чисел);

33.

34. Изолированные особые точки. Ряд Лорана.

Точка z ₀, принадлежащая области комплексных чисел, называется изолированной особой точкой функции f (z), если такая, что f (z) является однозначной аналитической функцией в (в самой точке аналитичность f (z) нарушается).

Изолированная особая точка z ₀ функции f (z) называется:

· устранимой особой точкой, если существует и конечен;

· полюсом, если ;

· существенно особой точкой, если не существует.

· Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).

Функция f (z), аналитическая в кольце
r < | z - z ₀ | < R,
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:
(1)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: (2)
где - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z ₀; в частности,
- окружность

Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f (z).

Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:
или

Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:
где
 - радиус контура интегрирования в формуле (2).

На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f (z) - его суммы.

Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z ₀ (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z ₀ = 0, ).

При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.

Для того чтобы особая точка функции f (z) была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если z ₀ - устранимая особая точка, то ряд Лорана функции f (z) имеет вид: (1)
для z ₀ - конечной точки, принадлежащей области комплексных чисел.

Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов.

Ряд Лорана функции f (z) в случае z ₀-полюс имеет вид:
(2)
если z ₀ принадлежит области комплексных чисел.

Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.
Так, точка z ₀ является полюсом порядка n функции f (z), если в разложении (2) , C_k = 0 при k < - n.

Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции f (z) в случае z ₀ - существенно особой точки имеет вид: (3)
если z ₀ принадлежит области комплексных чисел.

35. Вычеты, их вычисление. Основная теорема теории вычетов.

Вычетом функции в изолированной точке называется интеграл

где - замкнутый контур, содержащий одну особую точку .

Вычетом функции в точке называется интеграл

Основные формулы для нахождения вычетов: 1. Если а – устранимая особая точка для функции f (z), то 2. Если а – полюс первого порядка функции f (z), то В частности, если ,где (z) и(z) – регулярные в точке а функции, причем  а  ,  а)  а) , то точка а является простым полюсом функции f (z) и 3. Если точка а – полюс порядка т 1 для функции f (z), то . В частности, если , h (z) – регулярна в точке а, h (а) 0, то справедлива формула . 4. Если f (z) регулярна в точке z = , то ,где . 5. Если функция f (z) представима в виде ,где функция регулярна в точке  =0, то Приведем еще одну, важную для практического вычисления вычетов теорему. Теорема. Если z=a (а ) – изолированная особая точка однозначного характера функции f (z), то ,где с–1 – коэффициент при в ряде Лорана функции f (z) в окрестности точки z=a и ,где с-1 – коэффициент при в ряде Лорана функции f (z) в окрестности точки z = .

Основная теорема о вычетах: если функция является аналитической всюду в замкнутой области , за исключением конечного числа изолированных особых точек , лежащих внутри , то

36. Вычисление интегралов с помощью вычетов

Пусть функция аналитична в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек , лежащих в верхней полуплоскости. При этих условиях мы рассмотрим способы вычисления интегралов

, .

Теорема 1. Пусть функция удовлетворяет перечисленным выше условиям и, кроме того, при , где и - достаточно большое число. Тогда

. (1)

Доказательство. Опишем полуокружность (ориентированную против часовой стрелки) радиуса с центром в точке так, чтобы все особые точки функции попали внутрь (рис. 149). В силу теоремы 1 § 6.13

. (2)

Так как при , то

, .

Переходя к пределу в равенстве (2) при , получим (1).

Теорема 2. Пусть функция удовлетворяет условиям, отмеченным в начале параграфа и равномерно относительно . Тогда

. (3)

Доказательство. Так же как при доказательстве теоремы 1, имеем

(4)

(функция имеет те же особенности, что и ).

Нам нужно доказать, что при интеграл стремится к нулю. Имеем

.

В силу условия теоремы при для всех () и достаточно большого . Поэтому ( при )

.

Переходя к пределу в (4), при получаем (3).

Если функция имеет особенности на действительной оси, то специальным построением контура интегрирования можно вычислить соответствующие интегралы, если они существуют.