2015-02-04
1107
Теорема: Если f(z) является аналитической функцией в некоторой односвязной области G, ограниченной кусочно-гладкой кривой Г, и на самой кривой, то
, (теорема Коши),
и для любой внутренней точки z 0ОG имеем
(интегральная формула Коши).
Кроме того, справедлива формула
Из теоремы Коши следует, что если w=f(z) – аналитическая функция в односвязной области G, то интеграл 
не зависит от пути интегрирования Г (зависит только от начальной и конечной точек). В этом случае для вычисления интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:
где
32. Теорема Коши/Интегральная формула Коши
Теорема: Если f(z) является аналитической функцией в некоторой односвязной области G, ограниченной кусочно-гладкой кривой Г, и на самой кривой, то
, (теорема Коши),
и для любой внутренней точки z 0ОG имеем
(интегральная формула Коши).
Кроме того, справедлива формула
Из теоремы Коши следует, что если w=f(z) – аналитическая функция в односвязной области G, то интеграл не зависит от пути интегрирования Г (зависит только от начальной и конечной точек). В этом случае для вычисления интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:
|
|
|
где
F(z) – какая-либо первообразная функции f(z), т. е. F ' (z)=f(z).
Для нахождения первообразной аналитической функции f(z) применяют те же табличные формулы и приемы интегрирования, что и при нахождении неопределенных интегралов для функций действительного переменного.
Пусть теперь f(z) – аналитическая функция, как во внутренних точках (n +1) – связной области D, ограниченной кусочно-гладкими кривыми g0, g1,... gn, (причем каждая из кривых g1,... gn лежит вне остальных и все они расположены внутри g0), так и на границе, т. е. на граничных кривых. В таком случае справедлива теорема Коши для многосвязных областей:
где 
– полная граница области D, причем все кривые её составляющие ориентированы так, что область D остается слева.
Следует отметить, что в этой ситуации сами внутренние кривые обходятся в “отрицательном” направлении, т. е.
.
Отсюда немедленно вытекает равенство:
здесь кривые g0, g1,... gn обходятся в “положительном” направлении, т. е. против часовой стрелки.
Если теперь z0О D, то выполняется также и интегральная формула Коши:
