Пример 10. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Первое условие признака Лейбница выполняется: ; с другой стороны, , . Так как , то не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Ряд расходится.

Пример 11. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Общий член ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится.

Пример 12. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Составим ряд из абсолютных величин: .

Этот ряд есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и, следовательно, сходится. Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно.

Пример 13. Вычислить приближенно сумму ряда .

Решение. Данный ряд лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать: . Взяв пять членов, т.е. заменив S на

,

сделаем ошибку, меньшую, чем . Итак, .