Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости

Контрольная работа для заочного отделения

Семестр.

Рекомендуемая литература

Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П.Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - 5-е изд., испр. - М.: Высшая школа.Ч.1.-1998.-304с.

Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. -12-е издание. – СПб.: Лань, 2005.- 736 с

Б.М. Владимирский, А.Б. Горстко, Я.М. Ерусалимский. Математика: общий курс. – СПб.: Изд-во «Лань», 2002. – 954 с.

Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. — 5-е изд., стереотип. — М.: Наука, 1978. — 632с.

Демидович Б.П. Краткий курс высшей матетматики: Учебное пособие для вузов — M.: OOO «Издательство Астрель»: OOO «Издательство АСТ», 2001. — 656с.

Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления: Учеб. для втузов. В 2-ч т. Т.II: — М.: Интеграл–Пресс, 2004. —544 с.

Введение.

Выполнять контрольную работу следует строго по графику. Каждый студент выполняет контрольную работу под вариантом, номер которого совпадает с его порядковым номером в групповом журнале. Решение задач нужно предоставить в письменном виде на отдельных листах (формата А 4, в скрепленном виде). Сдавать работу можно как в печатном, так и в письменном виде. Выполняя к.р., студент должен переписать условие соответствующей задачи, написать подробное решение, выделив ответ. Там, где это необходимо, дать краткие пояснения по ходу решения.

«ЧИСЛОВЫЕ и ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ»

Числовые ряды. Достаточные признаки их сходимости

Пусть u ₁, u ₂, u ₃, …, u_n, …, где u_n = f (n), –– бесконечная числовая последовательность. Выражение u ₁+ u ₂ + u ₃ + … + u_n + … называется бесконечным числовым рядом, а числа u ₁, u ₂, u ₃, …, u_n, … –– членами ряда; u_n = f (n) называется общим членом. Ряд часто записывают в виде .

Сумму первых n членов числового ряда обозначают через S_n и называют n -й частичной суммой ряда:

Ряд называется сходящимся, если его n -я частичная сумма S_n при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т.е. если . Число S называют суммой ряда. Если же n -я частичная сумма ряда при не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся.

Ряд , составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму .

Ряд , называемый гармоническим, расходится.

Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то , т.е. при предел общего члена сходящегося ряда равен нулю.

Таким образом, если , то ряд расходится.

Перечислим важнейшие признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда

(1)

, (2)

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. . Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Этот признак остается в силе, если неравенства выполняются не при всех n, а лишь начиная с некоторого номера n = N.

Второй признак сравнения. Если существует конечный отличный от нуля предел , то ряды и одновременно сходятся или расходятся.

Радикальный признак Коши. Если для ряда

существует , то этот ряд сходится при , расходится при .

Признак Даламбера. Если для ряда существует , то этот ряд сходится при , расходится при .

Интегральный признак Коши. Если f (x) при –– непрерывная положительная и монотонно убывающая функция, то ряд , где сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл .

Рассмотрим теперь ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е. ряды вида , где .

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю. То есть, если выполняются следующие два условия: 1) и 2) .

Возьмем n -ю частичную сумму сходящегося знакочередующегося ряда, для которого выполняется признак Лейбница:

Пусть –– n -й остаток ряда. Его можно записать как разность между суммой ряда S и n -й частичной суммой S_n, т.е. . Нетрудно видеть, что

Величина оценивается с помощью неравенства .

Остановимся теперь на некоторых свойствах знакопеременных рядов (т.е. знакочередующихся рядов и рядов с произвольным чередованием знаков своих членов).

Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд .

В этом случае исходный ряд называется абсолютно сходящимся.

Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и поэтому сходится. Найдем его сумму. Здесь , (знаменатель прогрессии). Следовательно,

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Данный ряд получен из гармонического отбрасыванием первых десяти членов. Следовательно, он расходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Так как , т.е. , то ряд расходится (не выполняется необходимый признак сходимости).

Пример 4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда , т.е. ряда . Но последний ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Следовательно, исходный ряд сходится.