Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений

Для приближенного интегрирования дифференциальных уравнений можно воспользоваться степенными рядами либо в виде ряда Маклорена

, (13)

либо в виде ряда (14)

с неопределенными коэффициентами.

При интегрировании нелинейных дифференциальных уравнений удобнее пользоваться рядом (13). Варианту (14) отдается предпочтение при интегрировании линейных дифференциальных уравнений.

Применение ряда Тейлора заключается в следующем. Записав решение дифференциального уравнения в виде ряда Тейлора, пользуемся самим уравнением и заданными начальными условиями для определения производных от искомой функции, которые затем подставляют в решение.

Пример 28. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение. Заданное дифференциальное уравнение является нелинейным и не относится к известным частным случаям, допускающеим понижения порядка заменой переменной. Воспользуемся для его интегрирования рядом Тейлора. Тогда .

Из начальных данных имеем , , .

Воспользовавшись дифференциальным уравнением, находим .

Выполняя далее последовательное дифференцирование, получаем:

, ;

, ;

, ….

Ограничившись первыми шестью членами ряда, запишем приближенное решение заданного уравнения в виде

.

Применяя степенной ряд с неопределенными коэффициентами, искомое решение и необходимые производные от него в виде рядов подставляют в уравнение, после чего приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x. При этом в процессе решения уравнения n -го порядка целесообразно первые n коэффициентов выбрать в качестве параметров. Тогда сравнение коэффициентов позволит выразить все остальные коэффициенты , через .

Если заданы начальные условия, то через них определяются все коэффициенты ряда – решения. Остается подставить их и записать решение.

Пример 29. Записать в виде степенного ряда общее решение уравнения , ограничившись первыми шестью членами.

Решение. Запишем решение в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами .

Найдем первую и вторую производные:

,

.

Подставив полученные результаты в уравнение, получим

.

Выбрав и в качестве параметров и воспользовавшись сравнением коэффициентов при одинаковых степенях x, находим при

Итак, ограничившись первыми шестью членами ряда, записываем приближенное общее решение степенного ряда (14) с параметрами и :

Очевидно, что такое представление решения заданного дифференциального уравнения справедливо в области сходимости полученного ряда.