Область сходимости функционального ряда

Ряд называется функциональным, если его членами являются функции от некоторого аргумента x:

. (3)

При конкретных значениях x, подставляемых в ряд (3), получаются различные числовые ряды, которые могут сходиться или расходиться. Совокупность всех значений x, при которых функциональный ряд (3) сходится, называется областью сходимости функционального ряда. Для некоторых x ряд может сходиться абсолютно, для некоторых условно. Поэтому различают также области абсолютной и условной сходимости функционального ряда.

При нахождении областей сходимости можно использовать все известные признаки сходимости. Как это делается, рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 14. Найти область сходимости ряда .

Решение. Данный ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем . Так как прогрессия сходится лишь при , то данный ряд сходится, и притом абсолютно, при , то есть , и, следовательно, неравенство определяет область сходимости исходного ряда.

Пример 15. Найти область сходимости ряда .

Решение. При сходимость ряда очевидна. Пусть . Применим признак Даламбера. И так как этот признак применим лишь для рядов с положительными членами, то исследуем ряд сразу на абсолютную сходимость. Здесь

; ;

.

Ряд сходится, и притом абсолютно, при . При ряд расходится. При признак Даламбера ответа не дает, и, следовательно, при ряд нужно исследовать особо. При получается гармонический ряд , он расходится. При получается сходящийся ряд Лейбница . Таким образом, область сходимости данного ряда определяется неравенством .

Пример 16. Найти область сходимости ряда .

Решение. Данный ряд –– бесконечная геометрическая прогрессия с знаменателем . Следовательно, ряд расходится при всех действительных значениях x.

Пример 17. Найти область сходимости ряда .

Решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость с помощью радикального признака Каши. Здесь ;

при всех x.

Следовательно, ряд сходится абсолютно в бесконечном промежутке . Этим неравенством и определяется область сходимости данного ряда.

Пример 18. Найти область сходимости ряда .

Решение. Применяем признак Даламбера. У нас ; .

Вычисляем

;

При

,

так как .

При сходимость ряда очевидна, то заключаем, что при всех ряд сходится, и притом абсолютно. При получаются ряды вида , не удовлетворяющие необходимому признаку сходимости и, следовательно, расходящиеся. Таким образом, область сходимости данного ряда состоит из всех .

Пример 19. Найти область сходимости ряда .

Решение. При всех x справедливо неравенство . Ряд с общим членом сходится. Следовательно, данный функциональный ряд сходится абсолютно при всех x, согласно первому признаку сравнения.