double arrow

Разложение функций в степенные ряды

Ряд Тейлора для функции одной переменной. Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале , т.е. , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора

,

если в этом интервале выполняется условие

,

где –– остаточный член формулы Тейлора (или остаток ряда), , .

При получается ряд Маклорена:

.

Если в некотором интервале, содержащем точку , при любом n выполняется неравенство , где M –– положительная постоянная, то и функция разложима в ряд Тейлора.

Приведем разложения в ряд Маклорена следующих функций:

; (4)

; (5)

; (6)

. (7)

Это последнее разложение имеет место:

при , если ;

при , если ;

при , если .

В частности при , получаем

. (8)

При получаем

. (9)

При имеем:

; (10)

; (11)

. (12)

Пример 20. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Так как , то заменяя на в разложении (4) получаем

.

Пример 21. Записать ряд Маклорена функции для .

Решение. Так как ,

то, воспользовавшись формулой (11), в которой заменим на , получим

,

или

.

Ряд сходится, если

, т.е. .

Пример 22. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся формулой (8). Так как

,

то, заменив на в формуле, получим

,

или

,

где , т.е. .

Пример 23. Разложить в ряд по степеням x функцию .

Решение. Найдем значения функции и ее производных при :

, ,

, ,

,

…………………………………..

; .

Так как , то при фиксированном x имеет место неравенство для любого n. Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда Маклорена:

.

В данном случае .

Это разложение можно получить и иначе: достаточно в разложении

заменить на .

Пример 24. Разложить в ряд по степеням .

Решение. В разложении заменим на ; получим .

Пример 25. Разложить в ряд по степеням .

Решение. Воспользуемся равенством . Правую часть этого равенства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Отсюда получаем

,

т.е. .

Так как , то .


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: