2015-02-04
2222
Ряд Тейлора для функции одной переменной. Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале 
, т.е. 
, может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора
,
если в этом интервале выполняется условие
,
где 
–– остаточный член формулы Тейлора (или остаток ряда), 
, 
.
При 
получается ряд Маклорена:
.
Если в некотором интервале, содержащем точку 
, при любом n выполняется неравенство 
, где M –– положительная постоянная, то 
и функция 
разложима в ряд Тейлора.
Приведем разложения в ряд Маклорена следующих функций:
; (4)
; (5)
; (6)
. (7)
Это последнее разложение имеет место:
при 
, если 
;
при 
, если 
;
при 
, если 
.
В частности при 
, получаем
. (8)
При 
получаем
. (9)
При 
имеем:
; (10)
; (11)
. (12)
Пример 20. Разложить в ряд Маклорена функцию 
.
Решение. Так как 
, то заменяя 
на 
в разложении (4) получаем
.
Пример 21. Записать ряд Маклорена функции для 
.
Решение. Так как 
,
то, воспользовавшись формулой (11), в которой заменим на 
, получим
,
или
.
Ряд сходится, если
, т.е. 
.
Пример 22. Разложить в ряд Маклорена функцию 
.
Решение. Воспользуемся формулой (8). Так как
,
то, заменив на 
в формуле, получим
,
или
,
где 
, т.е. 
.
Пример 23. Разложить в ряд по степеням x функцию 
.
Решение. Найдем значения функции и ее производных при 
:
, 
,
, 
,
, 
…………………………………..
; 
.
Так как 
, то при фиксированном x имеет место неравенство 
для любого n. Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда Маклорена:
.
В данном случае 
.
Это разложение можно получить и иначе: достаточно в разложении
заменить на 
.
Пример 24. Разложить 
в ряд по степеням 
.
Решение. В разложении 
заменим на ; получим 
.
Пример 25. Разложить 
в ряд по степеням 
.
Решение. Воспользуемся равенством 
. Правую часть этого равенства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 
и знаменателем 
. Отсюда получаем
,
т.е. 
.
Так как 
, то 
.
