Ряд Тейлора для функции одной переменной. Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале , т.е. , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора
,
если в этом интервале выполняется условие
,
где –– остаточный член формулы Тейлора (или остаток ряда), , .
При получается ряд Маклорена:
.
Если в некотором интервале, содержащем точку , при любом n выполняется неравенство , где M –– положительная постоянная, то и функция разложима в ряд Тейлора.
Приведем разложения в ряд Маклорена следующих функций:
; (4)
; (5)
; (6)
. (7)
Это последнее разложение имеет место:
при , если ;
при , если ;
при , если .
В частности при , получаем
. (8)
При получаем
. (9)
При имеем:
; (10)
; (11)
. (12)
Пример 20. Разложить в ряд Маклорена функцию .
Решение. Так как , то заменяя на в разложении (4) получаем
.
Пример 21. Записать ряд Маклорена функции для .
Решение. Так как ,
то, воспользовавшись формулой (11), в которой заменим на , получим
,
или
.
Ряд сходится, если
, т.е. .
|
|
Пример 22. Разложить в ряд Маклорена функцию .
Решение. Воспользуемся формулой (8). Так как
,
то, заменив на в формуле, получим
,
или
,
где , т.е. .
Пример 23. Разложить в ряд по степеням x функцию .
Решение. Найдем значения функции и ее производных при :
, ,
, ,
,
…………………………………..
; .
Так как , то при фиксированном x имеет место неравенство для любого n. Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда Маклорена:
.
В данном случае .
Это разложение можно получить и иначе: достаточно в разложении
заменить на .
Пример 24. Разложить в ряд по степеням .
Решение. В разложении заменим на ; получим .
Пример 25. Разложить в ряд по степеням .
Решение. Воспользуемся равенством . Правую часть этого равенства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Отсюда получаем
,
т.е. .
Так как , то .