Доверительный интервал единичного и среднего значения выборки

Оценка доверительного интервала случайной величины Х

Известно, что генеральная совокупность величины Х_i распределена по нормальному закону. Известна выборочная оценка СКО этого распределения - S. Требуется оценить доверительный интервал величины Х_i с надежностью g.

Доверительный интервал для Х_iопределяется:

(6.1)

где t находят исходя из надежности g по таблице распределения Стьюдента для случая, когда S определено по выборке, причём n < 30, или по таблице нормального распределения, если можно считать, что S = σ для генеральной совокупности. (Обычно значение t определяется в пределах 2 ≤ t ≤ 3).

Оценка доверительного интервала для математического ожидания а. Принимается без доказательства, что если величина Х распределена нормально, то и выборочная средняя тоже распределена нормально с параметрами: , см. формулу (3.7). Пусть оценка СКО этого распределения - S известна. Требуется оценить доверительный интервал для математического ожидания µ по выборочной средней с надежностью g. (Выборочную среднюю следует рассматривать как случайную величину, т.к. она изменяется от выборки к выборке).

Тогда доверительный интервал для а определяется:

(6.2)

Пример. Случайная величина Х (размер детали) распределена нормально со стандартным отклонением S = σ = 0,03 мм. Найти доверительный интервал для данного размера детали и для оценки его математического ожидания по выборочным данным при надежности g = 0,95, если n = 36.

Из соотношения 2Ф(t)= 0,95, откуда Ф(t) = 0,475.

По таблице закона нормального распределения находится доля стандартных отклонений, соответствующих интегральной функции = 0,95. Она равна t = 1,96 (то есть ширина половины доверительного интервала равна почти 2 , см. рис. 5.2). Тогда точность оценки размера детали: = = 0,0588 ≈ 0,06, а точность оценки его выборочного среднего: Соответственно, доверительный интервал размера детали: а доверительный интервал выборочного среднего размера детали: