Примеры выполнения задания №11

Метод наискорейшего спуска. Найти точку минимума функции с точностью e=0,1 методом наискорейшего спуска.

1. Находим градиент функции

2. Выбираем нулевое приближение (точку ):

3. Вычисляем значение функции в этой точке и проекции градиента на оси x и y:

4. Выбираем параметр a: a=1. Находим координаты и точки :

5. Вычисляем значение функции в этой точке:

6. Так как значение функции U(x,y) в точке меньше, чем в точке , то параметр a увеличиваем: a=2, находим , вычисляем значение функции и сравниваем с предыдущим значением . Если функция убывает, то продолжаем увеличивать параметр a с шагом 1 до тех пор, пока функция убывает.

7. Так как в точке функция начинает возрастать, то минимум лежит между значениями a=7 и a=9. Таким образом, для параметра a имеем отрезок локализации на котором находится минимум функции U(x,y).

8. Применяем метод половинного деления для поиска минимума функции одной переменной , где в качестве переменной выступает параметр a. Отрезок локализации делим попалам и определяем две точки и с учетом того, что e=0.1:

10. Вычисляем значения функции при этих значениях параметра a и проверяем третье условие (8.5): . Имеем

11. Условие (8.5) не выполнено, процесс продолжаем. Так как значение функции при , т.е. в точке , меньше, то имеем новый отрезок локализации [7.99,9]. Процесс продолжаем:

11. В точке условие минимума выполнено, таким образом эта точка с координатами: является точкой минимума, значение функции в этой точке равно: .

Метод деформированного многогранника. Найти точку минимума функции с точностью e=0,1 методом дефомированного многогранника.

1. Так как функция зависит от двух переменных x,y, то имеем m=2. Выбираем шаг h=0.5 и три точки в соответствии с (8.8) с координатами:

2. Вычисляем значение функции в этих точках. Имеем

3. Значение функции в точке наибольшее, ее исключаем и находим среднюю точку из оставшихся точек, и кординаты пробной точки :

7. Вычисляем значение функции в пробной точке: .

5. Сравниваем со значением в исключенной точке . Значение функции в пробной точке меньше, поэтому находим новую пробную точку :

Вычисляем в ней значение функции . Так как значение в пробной точке меньше, чем в пробной точке , то точку заменяем на пробную точку . Имеем опять три точки:

6. Вычисляем значение функции в этих точках и длины всех граней, выходящих из той точки, в которой функция имеет минимальное значение:

7. Так как значение функции в точке наибольшее, то ее исключаем и находим среднюю точку из оставшихся точек, и кординаты пробной точки:

8. Вычисляем значение функции в пробной точке: .

9. Сравниваем со значением в исключенной точке . Значение функции в пробной точке меньше, чем в точке , поэтому находим новую пробную точку :

и вычисляем значение функции в этой точке, имеем

10. Так как значение функции в пробной точке меньше, чем в пробной точке , то точку заменяем на пробную точку . В результате имеем три новые точки и значения функции в этих точках:

11. Процесс продолжаем, в результате имеем

11. После четырех деформаций многогранник восстанавливаем. Так как в точке значение функции наименьшее, то ее берем за базовую точку, шаг уменьшаем в два раза и процесс продолжаем. Имеем:

12. Условие минимума выполнено, так как длины всех сторон многогранника, выходящие из точки с координатами: , в которой функция минимальна, меньше заданного e=0.1. Имеем точку минимума: , значение функции U(x,y) в этой точке равно: .