Источники и классификация погрешностей

ТЕМА №1

Основные понятия вычислительной математики, источники и классификация погрешностей, абсолютная и относительна погрешности, формы записи данных, вычислительная погрешность, погрешности решения задачи на ЭВМ.

Основные понятия вычислительной математики

Вычислительная математика – это раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ. В более узком понимании вычислительная математика – теория численных методов и алгоритмов решения типовых математических задач.

К задачам вычислительной математики относят:

· решение линейных уравнений;

· решение систем линейных уравнений;

· нахождение собственных значений и векторов матрицы;

· решение нелинейных алгебраических уравнений;

· решение систем нелинейных алгебраических уравнений;

· решение дифференциальных уравнений;

· решение систем дифференциальных уравнений;

· решение интегральных уравнений;

· задачи аппроксимации, интерполяции, экстраполяции.

В вычислительной математике можно выделить следующие разделы:

· анализ математических моделей, связанный с применением ПЭВМ в различных областях научной и практической деятельности;

· разработка методов и алгоритмов решения типовых математических задач, возникающих при исследованиях математических моделей;

· теория и практика программирования задач для ПЭВМ.

Настоящее время характерно резким расширением приложений математики, связанным с созданием и развитием средств вычислительной техники. Расширение возможностей приложения математики обусловило математизацию химии, экономики, биологии, психологии, медицины и других разделов науки. Требование численного решения новых задач привело к появлению большого количества новых методов.

Следует отметить, что при проведении математического эксперимента особое внимание уделяется возможности появления ошибок.

Источники и классификация погрешностей

Источниками возникновения погрешности численного решения задачи являются следующие факторы.

· Неточность математического описания (например, неточность задания начальных данных).

· Неточность численного метода решения задачи. Данная причина возникает, когда решение математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, что приводит к необходимости ограничения их числа, т.е. использование приближенного решения.

· Конечная точность машинной арифметики.

Все погрешности можно разделить на три вида:

· неустранимая погрешность;

· погрешность метода;

· вычислительная погрешность.

Результирующая погрешность определяется как сумма величин всех перечисленных выше погрешностей.

Неустранимая погрешность состоит из двух частей:

· погрешность, обусловленная неточностью задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;

· погрешность, являющаяся следствием несоответствия математического описания задачи реальной действительности (погрешность математической модели).

Погрешность метода связана со способом решения поставленной математической задачи. Она появляется в результате замены исходной математической модели другой и/или конечной последовательностью других более простых (например, линейных) моделей. При создании численных методов закладывается возможность отслеживания таких погрешностей и доведения их до сколь угодно малого уровня. Отсюда естественно отношение к погрешности метода как устранимой (или условной).

Вычислительная погрешность (погрешность округлений) обусловлена необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники.