Краткая теория. Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (12.11)

называется однородным, если коэффициенты P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения n, т.е. функциями, для которых при любом k выполняются тождества

P(kx,ky) = kⁿP(x,y), Q(kx,ky) = kⁿQ(x,y). (12.12)

Уравнение (11) можно привести к виду

(12.13)

С помощью подстановки y = ux, (12.14)

где u - новая неизвестная функция, однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

1. Проинтегрировать однородное дифференциальное уравнение

Коэффициенты при dy и dx соответственно равны:

Q(x,y) = x;

Функции P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями первой степени.

Действительно, Q(kx, ky) = kx = kQ(x,y);

Таким образом, тождества (12.12) выполняются.

Положим y = ux, тогда dy = udx + xdu. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

Раскрывая скобки, приводя подобные члены и сокращая на х, получим уравнение с разделяющимися переменными

Разделяя переменные и интегрируя, находим

откуда .

Подставляя сюда выражение (полученное из равенства у = ux), находим или

Возведя в квадрат обе части уравнения и сокращая на x² , получим общий интеграл

x² - 2Cy = C ².

2. Найти общий интеграл однородного уравнения

(x²-y²)dy - 2xу dx = 0.

В данном случае имеем:

Q(x,y) = x²-y²; P(x,y) = - 2xy.

Эти функции являются однородными функциями второй степени.

В самом деле:

Q(kx,ky) = (kx)²- (ky)²= k²(x²-y²) ≡ k²Q(x,y);

P(kx,ky) = -2(kx)(ky) = k²(-2xy) ≡ k²P(x,y).

Полагая y = ux, находим dy = x du + u dx.

Подставляя выражения для y и dy в исходное уравнение и сокращая на x²≠ 0, получаем уравнение с разделяющимися переменными:

(1-u²)(x du+u dx)-2u dx = 0 или (u ≠ 0).

Принимая во внимание, что

и интегрируя полученное уравнение, находим ln|x| = ln|u| - ln|1+u²| + ln|C|, откуда

Подставляя сюда выражение для u, определяемое из равенства y = ux, получим общий интеграл

x²+y²=Cy,

представляющий семейство окружностей с центрами на оси Oy и проходящий через начало координат.

Замечание. При u = 0 получаем решение y = 0. Это решение является частным. В самом деле, общий интеграл x²+ y²= Cy можно переписать в виде C₁(x²+y²) = y, где При C₁= 0 получаем y = 0.