Краткая теория. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение первой степени относительно у и у'

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение первой степени относительно у и у', т.е. уравнение вида

φ₁(x)y' + φ₂(x)y + φ₃(x) = 0 (φ₁(x) ≠ 0) (12.15)

или

y'+p(x)y = q(x). (12.16)

Решение линейного уравнения ищется в виде

y = u(x)v(x). (12.17)

Подстановка выражений для у и у' в уравнение (12.16) приводит его к виду

(12.18)

В качестве v выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравнению

(12.19)

тогда функция u определяется из уравнения

(12.20)

Если функция q(x) ≡ 0, то уравнение (12.16) принимает вид

y' + p(x)y = 0 (12.21)

и называется линейным однородным, его общее решение выражается формулой

(12.22)

Для решения неоднородного линейного уравнения (12.16) можно применять метод вариации произвольной постоянной. Этот метод состоит в том, что сначала находят общее решение уравнения (12.21), т.е. соотношение (12.22).

Далее, полагая в этом соотношении величину С функцией от х, ищут решение неоднородного уравнения (12.16) в виде (12.22).Для этого подставляют в уравнение (12.16) y и у', определяемые из формулы (12.22), и из полученного дифференциального уравнения находят функцию С(x). Общее решение уравнения (12.16) получается в виде

(12.23)

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

y' +p(x)y = q(x)y^α, (12.24)

где α - действительное число. В случае α = 0, α = 1 уравнение (12.24) является линейным. Во всех других случаях оно сводится к линейному с помощью подстановки

u = y^{1 – α.}. (12.25)

1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

y' + y - kx = 0.

Данное уравнение является уравнением вида (12.16), где p(x) = 1, q(x) = kx.

Положим y = uv, тогда y' = u'v + uv'. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим

u'v + uv' + uv – kx = 0 или (v' + v) + u'v – kx = 0. (A)

В качестве v выберем одну из функций, удовлетворяющих уравнению

v' + v = 0 или (B)

Интегрируя это уравнение, получим

ln v = -x, v = e ^-x.

Уравнение (A) c учетом (B) перепишем так:

u'v - kx = 0 или

Подставляя сюда значение v = e^-x, получим

du - kxe^xdx = 0.

Интегрируя полученное уравнение, находим

Подставив выражения для u, v в формулу y = u v:

y = uv = e^-x[ke^x (x - 1) + C] = k(x - 1) + Ce^-x.

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения таково:

y = k (x - 1) + Ce^-x.

2. Найти общее решение линейного уравнения

xy' – y = x³.

Положим y = uv, тогда y' = u'v + uv'. Уравнение перепишем в виде

x(u'v + uv') – uv = x³ или u(xv' - v) + xu'v = x³. (A)

Выберем v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, тогда

lnv = lnx, v = x.

Уравнение (A) при v = x запишем так: x²du = x³dx, du = x dx, откуда

Следовательно, общее решение.

3. Проинтегрировать линейное уравнение

y' + y = x+2.

Пусть y = uv, тогда y' = u'v + uv'.

подставляя выражение для y и y' в уравнение, получим

u'v + uv' + uv = x+2, u(v' + v) = x + 2 - u'v. (A)

Потребуем, чтобы v' + v = 0, тогда

ln v = -x, v = e^-x

Если v' + v = 0, то уравнение (A) принимает вид x+2 - u'v = 0.

Подставляя сюда значение v, перепишем уравнение в виде

Интегрируя последнее уравнение, получим

u = xe^x + e^x + C.

Следовательно, у = uv = e^-x[C+e^x(x+1)].

Таким образом, общее решение дается формулой

у = Ce^-x + x+1.

Найти общие решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

12.25.

12.27.

12.29.

12.31.

12.26.

12.28.

12.30.

12.32.

Проинтегрировать уравнения Бернулли:

12.33.

12.34.