Краткая теория. 1. Если производная функции y = f(x) положительна (отрицательна) во всех точках промежутка, то функция y = f(x) монотонно возрастает (убывает) на этом

1. Если производная функции y = f(x) положительна (отрицательна) во всех точках промежутка, то функция y = f(x) монотонно возрастает (убывает) на этом промежутке.

2. Точка x ₀ называется точкой максимума (минимума) функции y = f(x), если существует интервал, содержащий точку x ₀, такой, что для всех x из этого интервала имеет место неравенство f(x ₀ ) ≥ f(x), (f(x ₀ ) ≤ f(x)). Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума.

3. Необходимое условие экстремума: в точке экстремума функции ее производная либо равна нулю (f ′ (x)=0), либо не существует.

4. Первое достаточное условие экстремума: если в точке x ₀ функция y = f(x) непрерывна, а производная f ′ (x) при переходе через точку x ₀ меняет знак, то точка x ₀ – точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «-», и минимума, если с «–» на «+».

Если при переходе через точку x₀ производная не меняет знак, то в точке x₀ экстремума нет.

5. Второе достаточное условие экстремума: если в точке x₀ , а , то x₀ является точкой максимума функции. Если , а , то x₀ является точкой минимума функции.

6. Схема исследования функции на экстремум:

1) найти производную ;

2) найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует;

3) исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции;

4) найти экстремальные значения функции.

При исследовании функции на экстремум с помощью 2-го достаточного условия п. 1), 2), 4) сохраняются, а в п. 3) необходимо найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.

7. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение (глобальный максимум и минимум) функции на отрезке [a,b] следует выбрать наибольшее (наименьшее) из значений функции в критических точках, находящихся в интервале (a,b) и на концах отрезка (в точках a и b).

8. Если дифференцируемая на интервале (a,b) функция имеет единственную точку экстремума, то в этой точке достигается наибольшее или наименьшее значение (глобальный максимум или минимум) функции на интервале (a,b).

8.35. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

Решение. В соответствии со схемой исследования (п. 6) найдем . Очевидно, производная существует при всех значениях x. Приравнивая y′ к нулю, получаем уравнение откуда и - критические точки. Знаки производной имеют вид (рис. 8.1):

Рис. 8.1

На интервалах и производная и функция возрастает, на интервале и функция убывает;

Рис. 8.2

- точка максимума и - точка минимума и , так как при переходе через эти точки производная меняет свой знак соответственно с «+» на «-» и с «-» на «+».

Замечание. Установить существование экстремума в критических точках и , в которых можно было и с помощью второй производной (см. п. 5). Так как , а , то - точка максимума, а - точка минимума.

График данной функции схематично показан на рисунке 8.2.

8.36. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции .

Решение. .

Производная существует во всех точках, в которых существует и сама функция, т.е. при x > 0. Точки, в которых производная обращается в нуль, задаются равенствами ln x =0, ln x-1 = 0, откуда x₁ =1, x₂ = е – критические точки. Знаки производной указаны на рис. 8.3.

Рис.8.3

Таким образом, функция монотонно возрастает на промежутках (0;1) и (е;+ ) и монотонно убывает на промежутке (1;е). Точка x = 1 – точка максимума и , точка х = е – точка минимума и .

8.37. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции

Решение. . Производная не существует при cos x =1 т.е. при и равна нулю при . Знак производной совпадает со знаком sin(x); таким образом у' >0 при и y'<0 при . Это, соответственно, интервалы возрастания и убывания функции. - точки максимума , - точки минимума .

8.38. Найти наибольшее значение (глобальный максимум) функции на интервале (10;18).

Решение. Найдем . На интервале (10;18) имеется всего одна критическая точка x = 6. Производная при переходе через эту точку меняет знак с «+» на «-», т.е. x = 6 – точка максимума. Следовательно, функция достигает наибольшего значения при x = 16, т.е. . (Заметим, что наименьшего значения (глобального минимума) данной функции на указанном интервале не существует.)

8.40. Забором длиной 24 метра требуется огородить с трех сторон прямоугольный палисадник наибольшей площади. Найти размеры палисадника.

Решение. Пусть длины сторон палисадника x,y. Тогда 2x + y = 24, т.е. y = 24-2x. Площадь палисадника S = xy = x(24-2x) = 24x-2x², где 0<x<12 (ибо 24-2x>0). Таким образом, задача свелась к отысканию значения x, при котором S(x) принимает наибольшее значение на интервале (0;12). Найдем S'(x) = 24-4x = 0 при x = 6. Легко видеть, что x = 6 – единственная точка экстремума – максимума функции S(x). Это означает, что на интервале (0;12) S(x) принимает наибольшее значение при x = 6, т.е. искомые размеры палисадника 6 м и 24- 2 - 6 = 12 м.

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции:

8.41. . 8.42. . 8.43. .

8.44. . 8.45. 8.46. .

8.47. . 8.48. . 8.49. .

8.50. . 8.51. . 8.52. .

8.53. . 8.54. . 8.55. .

8.56. . 8.57. . 8.58. .

8.59. . 8.60. .

Найти наибольшее и наименьшее значение (глобальный максимум и минимум) функции на отрезке [ a,b ]:

8.61. 8.62. 8.63.

8.64. 8.65. 8.66.

8.67. 8.68.

Найти наибольшее или наименьшее значение (глобальный максимум или минимум) функции на интервале (a,b):

8.69. 8.70. 8.71.

8.72. 8.73. 8.74.

8.75. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых сторон имеет периметр, равный 6 см. найти среди них параллелепипед с наибольшим объемом и найти этот объем.

8.76. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном, при которых на облицовку стен и дна пойдет наименьшее количество материала. Объем бассейна V фиксирован.

8.77. Требуется огородить два участка: один в форме правильного треугольника, другой в форме полукруга. Длина изгороди фиксирована и равна Р. Определить размеры участков (сторону треугольника и радиус полукруга) так, чтобы сумма площадей этих участков была бы наименьшей.

8.78. В треугольнике с основанием a и высотой h вписан прямоугольник, основание которого лежит на основании треугольника, а две вершины - на боковых сторонах. Найти наибольшую площадь вписанного прямоугольника.

8.4. Интервалы выпуклости функции.
Точки перегиба