Краткая теория. 1. Производной функции называется конечный предел приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при условии

1. Производной функции называется конечный предел приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует):

. (7.1)

Если функция в точке (или на промежутке ) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке ).

2. Если функция дифференцируема в точке , (или на промежутке ), то она в этой точке непрерывна (или на промежутке ). Если функция непрерывна в данной точке, то она обязательно дифференцируема в данной точке.

1. Используя определение производной, найти производную функции .

Решение. Придавая аргументу приращение , найдем соответствующее приращение функции:

.

Составим отношение:

.

Найдем предел этого отношения при :

(ибо в силу (6.1) первый предел равен 1).

Таким образом: .

2. Доказать, что функция непрерывна, но не дифференцируема в точке .

Решение. Функция:

1) определена на всей числовой оси, в том числе в точке ;

2) существует конечный предел ;

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Таким образом, согласно определению (6.4) непрерывности функции в точке, функция непрерывна при .

Производная функции

,

т.е. функция не является дифференцируемой при .

Используя определение производной, найти производные функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Доказать, что функции непрерывны и дифференцируемы при :

7. , .

8. , .

Доказать, что функции являются непрерывными, но не дифференцируемы при :

9. , .

10. , .

7.2 Правила дифференцирования. Производные элементарных функций.