Получение фундаментальной нормированной матрицы решений

10 11 12 13 14 15 16

Имеем однородное матричное дифференциальное уравнение в форме Коши:

Будем искать решение в виде:

где - вектор постоянных коэффициентов,

Вынесем вектор :

Чтобы в общем случае , необходимо, чтобы определитель разности

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы уравнений Коши. В развернутом виде:

Если раскроем определитель, получим уравнение n-го порядка для , решение которого даст n корней: .

Количество корней равно рангу матрицы.

Подставляем в уравнение

Если уравнения линейно зависимы, соответственно часть элементов вектора задаем, остальные находим. Подставляя поочередно все значения , определяем n векторов .

Тогда решения однородного уравнения можно записать:

При из этого условия находим постоянные С.

Фундаментальная матрица решений:

Проблема заключается в том, что найти нормированную фундаментальную матрицу решений путем приравнивания элементов матрицы элементам матрицы при не приводит к результату.

Чаще фундаментальную нормированную матрицу решений определяют:

И тогда такую матрицу зачастую называют всюду нормированной.

Если матрица не особая, то:

И тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения записывают как

- формула Коши

Матрица фундаментальных решений в качестве элементов содержит комбинацию решений исходной матрицы (для линейных систем сумма решений дифференциальных уравнений с различными коэффициентами также является решением).

Для стационарных линейных систем (с постоянными коэффициентами):

где функция

т.е. представлена бесконечным рядом.

В частном случае, когда матрица – диагональная,

Получение общего решения модифицированного уравнения через фундаментальную матрицу решений однородного уравнения достаточно просто реализуется путем использованием метода неопределенных множителей

Рассмотрим пример: