Числовые характеристики дискретной случайной величины

1. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

.

Свойства математического ожидания:

M(C)=C, где C – произвольная постоянная

M(CX)=C·M(X)

M(X±Y)=M(X)±M(Y)

M(X·Y)=M(X) M(Y)

Пример 5.

Известны значения распределения случайных величин X и Y - число очков выбиваемых первым и вторым стрелками.

	0,15	0,11	0,04	0,05	0,04	0,10	0,10	0,04	0,05	0,12	0,20

	0,01	0,03	0,05	0,09	0,11	0,24	0,21	0,10	0,10	0,04	0,02

Необходимо выявить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Построить многоугольники распределения.

Решение:

Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее количество очков.

М(Х) = 0 0,15 + 1 0,10 + 2 0,04 +...+ 9 0,12 + 10 0,2 = 5,36.

M(Y) = 0 0,01 + 1 0,03 0,05 +...+ 9 0,04 + 10 0,02 = 5,36.

То есть среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаково.

2. Дисперсия дискретной случайной величины. Слово "дисперсия" означает "рассеяние":

D(X) = M(X-M(X))² или D(X) = M(X²)-(M(X))².

Дисперсией D(x) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания.

Свойства дисперсии:

D(C)=0, где C – произвольная постоянная

D(CX)=C²·D(X)

D(X±Y)=D(X)+D(Y)

Если X- дискретная случайная величина, то или , где a =M(X).

3. Среднее квадратическое отклонение σ (стандартное отклонение или стандарт) случайной величины X- это арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

В примере 5 о стрелках вычислить дисперсию числа выбитых очков для каждого стрелка.

Решение: Очевидно, что лучше стрелял тот стрелок, у которого при равенстве средних значений числа выбитых очков меньше отклонение этого числа относительно среднего значения (дисперсия).

D(X) = (0 5,36)²0,15 + (1 - 5,36)²0,11 +...+ (10-5,36)²0,2 =13,6.

D(Y) =(0 5,36)²0,01 + (1 - 5,36)²0,03 +...+ (10-5,36)²0,02 =4,17.

Ответ: Дисперсия меньше у второго стрелка.