2015-03-07
282
Если дано линейное дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
L[y]=f(x) (14.1)
Где
(14.2)
так как мы всегда умеем решить соответствующее однородное уравнение изложенного в лекции 13. Метод вариации постоянных, во всяком случае, позволяет найти квадратурами частное решение. Мы в этом параграфе остановимся главным образом на тех случаях, когда частное решение находится без квадратур. Для этого докажем предварительно следующее:
Лемма 14.1 Если имеем уравнение
L[y]=f1(x)+f2(x),
То обозначая через Y1 Y2 соответствующие частные решения уравнений
L[y]=f1(x), L[y]=f2(x),
Мы получим его частные решение в виде
Y= Y1+Y2
Доказательство: В самом деле, если мы имеем
L[Y1+Y2]=L[y1]+L[y2]
То по условию
L[y1]=f1(x), L[y2]=f2(x),
Что и требовалась доказать.
В силу лекции13 общее решение уравнения (14.1) находится по формуле
У=Учас +Уоб.од
Где Учас – частное решение уравнения (14.1)
Уоб.од –общее решения однородного уравнения соответствующего (14.1)
