Рассмотрим ряд
(15.4)
Это геометрическая прогрессия с первыми членами a,знаменателями
Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна
Как известно из школьной программы, сумма n-первых членов геометрической прогрессии равна
Формула n-го члена при
Или
Рассмотрим несколько случаев, когда
1. Если то при следовательно
Значит в случае ряд (15.4) сходится и его сумма равна
2.Если то при и тогда то есть не существует. Таким образом, в случае ряд (15.4) расходится.
3. Если q=1, то ряд (15.4) принимает вид a+a+a+…+a+…
В этом случае
То есть
То есть ряд расходится.
4. Если q=-1, то ряд (15.4) имеет вид a-a+a-a+a-…+a-…
В этом случае
Следовательно, предела не имеет-ряд расходится.
То,есть геометрическая прогрессия с первым членом, отличным от нуля сходится только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.