2015-03-07
5168
Рассмотрим ряд
(15.4)
Это геометрическая прогрессия с первыми членами a,знаменателями 
Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна
Как известно из школьной программы, сумма n-первых членов геометрической прогрессии равна 
Формула n-го члена 
при 
Или 
Рассмотрим несколько случаев, когда 
1. Если 
то 
при 
следовательно 
Значит в случае ряд (15.4) сходится и его сумма равна
2.Если 
то 
при и тогда 
то есть 
не существует. Таким образом, в случае 
ряд (15.4) расходится.
3. Если q=1, то ряд (15.4) принимает вид a+a+a+…+a+…
В этом случае 
То есть 
То есть ряд расходится.
4. Если q=-1, то ряд (15.4) имеет вид a-a+a-a+a-…+a-…
В этом случае
Следовательно, 
предела не имеет-ряд расходится.
То,есть геометрическая прогрессия с первым членом, отличным от нуля сходится только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.
