Способ нахождения частных решений линейного уравнения с постоянными коэффициентами, когда правая часть имеет специальный вид

1 2 3 4 5 6 7

2.1. Уравнение вида (P_r(x)-многочлен)

На основании Леммы 14.1 достаточно уметь находить частное решение, когда правая часть f(x) задана в виде

f(x)=P_m(x)e^ax=(P_mx^m+P_mx^m^-1+…+P₀)e^αx

1.Пусть

F(k)=k^m+P₁k^m-1+P₂k^m-2+…P_n-1k+P_n=0 (14.3)

Характеристическое уравнение соответствующее однородному уравнению.

L[y]=0 (14.1)

И α –не является корнем характеристического уравнения, F(α)=0

Мы докажем, что в этом случае существует частное решение того же вида, что и правая часть, а именно

Y=Q_m(x) (14.4)

Где Q_m(x)=b_mx^m+b_m_-1x^m^-1+…+b₁x+b₀, рассматривая b_m, b_m_-1,…,b₁b₀ как неизвестные.

Определим эти коэффициенты. Нетрудно заметить, что

L[Q_m(x)e^α^.^x]=P_m(x)e^α^.^x

или

e^-^α^.^xL[Q_m(x)e^α^.^x]= P_m(x) (14.5)

вычислим левую часть, применяя формулу

(14.6)

То есть

(14.7)

Приравнивая выражения (14,5) многочлену P_m(x) и отождествляя коэффициенты при одинаковых степенях x, получим m+1 уравнений c m+1 неизвестными b₀,b₁,…,b_n,

b_mF(α)=P_m

(14.8)

_{……………………………………………………..=…………}

Так как по условию α не является корнем характеристического уравнения, то F(α)=0

Система (14.8) дает возможность последовательно вычислить

(14.9)

И так далее.

Таким образом, мы находим искомое частное решение (14.4). [Разрешимость системы (14.8) относительно b₀,b₁,…,b_m, можно сразу увидеть из того, что ее определитель равен [F(α)]^m⁺¹=0].

Пример14.1: Найти решение уравнения

(14.10)

Решение: В нашем случае f(x)=P_m(X)e^αx, m=0, α=0, P₀=0. Число α=1, не является корнем характеристического уравнения F(k)=k²+1=0, F(1)=1²+1=2⁪0, поэтому частное решение ищем в виде

Согласно (14.8), имеем

Следовательно

Общее решение уравнение (14.9) имеет вид

1. Пусть теперь α является корнем характеристического уравнения кратности . Тогда

. Формула (14.6) показывает, что в это случае

есть произведение на многочлен степени . Чтобы получить в результате подстановки в левую часть уравнения , умноженное на многочлен степени m, естественно искать частное решение в этом случае в виде

(14.11)

Подставляя это выражение в уравнение

И требуя, чтобы (14.11) было решением уравнения, мы приходим к условию

(14.12)

Вычисляя левую часть, пользуясь формулой (14.6) и учитывая, что , имеем

(14.13)

Подставляя выражение (14.13) в равенство (14.12) и приравнивая после этого коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства (14.12), опять получаем систему (m+1) уравнений для определения b₀,b₁,b₂…,b_m,

_{……………………………………………………………………………….} (14.14)

Определитель системы (14.14) равен

Поэтому все неизвестные определяются однозначно, и мы получаем решение вида (14.11).

Теорема 14.1 Частное решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью вида может быть найдено в виде где есть кратность α характеристического уравнения, Q_m есть многочлен той же степени, что P_m(x).

Пример 14.2: Решить уравнение

Характеристического уравнение очевидно имеет вид , его корни ,

Рассмотрим сначала первое уравнение; в правой части нет показательного множителя, следовательно α=0, но нуль есть двух кратный корень характеристического уравнения. Тогда, согласно изложенному выше, должны искать частное решение в виде

Находим

Подставляя в уравнение, получим:

24b₂x+6b₁+12b₂x²+6b₁x+2b₀=x²+1

Следовательно

Переходим ко второму уравнению. Здесь α=1 не является корнем характеристического уравнения. Ищем частное решение в виде

находим

Подставляя в уравнение, имеем

Приравниваем коэффициенты.

Искомое значение

Общее решение данного уравнения, есть

Пусть правая часть уравнений (14.1) имеет вид

И в частности

или

Где многочлен степени m, а α и β – действительные числа. Заметим, что cosβx, sinβx выражается линейно через показательные функции eⁱ^β^x, e^-ⁱ^β^x

После замены тригонометрических функций показательными это выражения обратится в такое

В частности

В силу пункта 1,2 мы должны искать частное решение в виде

(14.15)

Если суть корня характеристического уравнения кратности r. Легко видеть, что системы уравнений (14.8) или (14.14) для определения коэффициентов многочлена соответствующая система для получается переходам к комплексным сопряженным значениям коэффициентов уравнений, следовательно, коэффициенты многочлена окажутся комплексными сопряженными с соответствующими .

Поэтому, отделяя действительную часть от мнимой части, мы получим: если

то . Подставляя эти многочлены в выражение (14.15) и переходя от показательных функций к тригонометрическим, находим искомое выражение

Это выражение не содержит комплексных величин. В случае, если суть корня характеристического уравнения кратности r, то частное решение ищется в виде

Теорема 14.2 Частное решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью вида

Можно найти в форме

где (х) и (х) многочлены той же степени, что и (или наибольшей, если эти степени не равны), а есть кратность корня характеристического уравнения.

На практике опять пишут многочлены (х) и (х) с неопределенными коэффициентами, подставляя в уравнение и приравнивают коэффициентами, подставляя в уравнение и приравнивают коэффициенты в обеих частях при выражениях вида х¹ и . Впрочем, иногда удобно производить вычисления и с иными показателями.

Пример 14.3: Проинтегрировать уравнение

Решение: Характеристическое уравнение имеет вид , то, есть выражения не является корнем характеристического уравнения , поэтому частное решение ищем следующим образом: