Признаки сходимости рядов Фурье. Теорема Дирихле

В этом параграфе мы сформулируем условия, при которых ряд Фурье функции сходится и имеет своей суммой именно функцию . Введем предварительно несколько определений.

Определение 22.4. Функция называется кусочно монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на так, что на каждом из интервалов функция монотонна, то есть либо возрастающая, либо не убывающая.

Из определения следует, что если функция кусочно монотонная и ограничена на отрезке , то она может иметь только точки разрыва первого рода. Действительно, если есть точка разрыва функции , то в силу монотонности функции существуют пределы:

(22.11)

То есть точка с есть точка разрыва первого рода.

Определение 22.5 Функция называется гладкой в интервале , если в этом интервале она непрерывна вместе со своей первой производной .

Определение 22.6. Функция называется кусочно гладкой в интервале , если интервал можно разбить на конечное число частичных интервалов, в каждом из которых -гладкая функция.

Таким образом, ряд Фурье функции будет сходится и его сумма будет равно , если только сделать некоторые ограничительные предположения относительно функции .

Предположим во –первых:

Что функция , заданная на промежутке , или непрерывна, или имеет внутри этого промежутка лишь конечное число точек разрыва непрерывности.

Мы предположим далее, что все эти точки разрыва непрерывности обладают следующими свойствами:

Если есть точка разрыва непрерывности , то существуют конечные (22.11). также точки разрыва непрерывности обычно называются точками разрыва первого рода.

Предположим наконец, что весь промежуток можно разбить на конечное число частей, таких, что в каждой части меняется монотонно (смотрите определение 22.4) Указанные выше условия называются обычно условиями Дирихле, то есть говорят что функция удовлетворяет условиям Дирихле в промежутке , или непрерывна в этом промежутке, или имеет конечное число разрывов первого рода, и если, кроме того промежуток можно разбить на конечное число таких промежутков, в каждом из которых функция меняется монотонно.

Заметим далее, что на конце нам важен лишь тот предел, к которому стремится при , а поэтому вместо мы будем писать и точно также вместо мы будем писать