Примеры решения задач. Пример 10.1.Тонкое кольцо (рис

Пример 10.1. Тонкое кольцо (рис. 10.14) в вакууме радиусом = 20 см равномерно заряжено с линейной плотностью = 50 нКл/м. Найдите напряженность поля и силу, действующую со стороны кольца на точечный заряд = 1 нКл, если он удален от центра кольца на расстояние = 20 см и лежит на оси кольца. На каком расстоянии от центра кольца напряженность поля максимальна?

Рис. 10.14

Решение. Возьмем элемент кольца . Этот элемент имеет заряд . Модуль напря­женности электрического поля, созданного этим элементом в точке A, равен

.

Для нахож­дения напряженности поля кольца надо сложить векторы от всех элементов кольца. Выберем два диаметрально противоположные элемента кольца и найдем векторную сумму . Рассчитаем косинус угла :

.

Сумма проекций векторов и на вертикальный орт равна нулю, а сумма проекций векторов и на горизонтальный орт равна

.

Интегрируя это соотношение по всей длине кольца, получим для модуля на оси кольца:

, (10.34)

где - заряд кольца.

Найдем расстояние , где напряженность максимальна при фиксированном радиусе кольца . Для этого вычислим производную функции (10.34) по и приравняем ее нулю:

, .

График функции показан на рис. 10.15.

Рис. 10.15

Проведем необходимые вычисления для :

5000 В/м, 5·10^–6 Н, 14,1 см.

Пример 10.2. В воздухе находится фарфоровый шар с диэлектрической проницаемостью 6 и радиусом = 10 см. Он заряжен равномерно с объемной плотностью = 15 нКл/м³ . Определите напряженность электростатического поля и потенциал на расстоянии 5 см и 15 см от центра шара, и постройте их графики в диапазоне = 0÷20 см.

Решение. 1. Рассмотрим сначала решение, когда < . В качестве гауссовой поверхности возьмем сферу произвольного радиуса . Центр сферы совпадает с центром шара. По теоремеОстроградского-Гаусса (10.10) получим

, . (10.35)

Поскольку задача обладает центральной симметрией, то, используя (10.30), рассчитаем потенциал

, (10.36)

где - постоянная интегрирования.

2. Пусть теперь . Полный заряд шара и напряженность равны

, . (10.37)

Используя (10.31), (10.37), вычислим потенциал

. (10.38)

Потенциал является непрерывной функцией . Приравняв на границе (10.36) и (10.38), найдем постоянную интегрирования :

, . (10.39)

Таким образом, когда < , потенциал электростатического поля

. (10.40)

На рис. 10.16 приведены графики и , построенные по формулам (1.35) – (1.40).

Проведем необходимые вычисления: 4,7 В/м, 6 В. Теперь для 15 см: 62,8·10^–3 нКл, 25,1 В/м, 3,8 В.

Рис. 10.16

Контрольные вопросы

1. Дайте определение электрического заряда. Перечислите и разъясните основные свойства заряда.

2. Какие поля называют электростатическими?

3. Сформулируйте закон Кулона.

4. Что такое напряжённость электростатического поля? Как определяется направление вектора напряжённости?

5. Сформулируйте принцип суперпозиции для электростатического поля.

6. Что такое поток вектора напряженности?

7. Какие линии называются силовыми? Почему они не могут пересекаться?

8. Что такое потенциал? Каков его физический смысл?

9. Какова связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом?

10. Какие линии называются эквипотенциальными?

11. Докажите, что эквипотенциальные и силовые линии ортогональны.

12. От чего зависит густота силовых и эквипотенциальных линий?

13. В чем заключается физический смысл теоремы Остроградского-Гаусса?

14. Что такое электрический диполь? Рассчитайте поле на оси диполя.

15. Рассчитайте, используя теорему Остроградского-Гаусса, поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

16. Рассчитайте, используя теорему Остроградского-Гаусса, поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей.

17. Рассчитайте, используя теорему Остроградского-Гаусса, поле равномерно заряженной сферической поверхности.

18. Рассчитайте, используя теорему Остроградского-Гаусса, поле равномерно заряженного шара с объемной плотностью .

19. Рассчитайте, используя теорему Остроградского-Гаусса, поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити).

Тема 11. Диэлектрики и проводники
в электростатическом поле.
Электрическая емкость, конденсаторы

Электростатическое поле в веществе. Типы диэлектриков Поляризация диэлектрика. Вектор поляризации. Вектор электрического смещения. Диэлектрическая проницаемость вещества. Условия на границе раздела двух диэлектрических сред.

Проводники в электростатическом поле. Электроемкость уединенного проводника. Конденсаторы. Энергия заряженного проводника и конденсатора. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии.

11d:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\content\chapter1\section\paragraph2\theory.htmld:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\ring_h.gif.1. Диэлектрики и проводники в электростатическом поле

Вещество, внесенное в электрическое поле, может существенно изменить его. Это связано с тем, что вещество состоит из заряженных частиц. В отсутствие внешнего поля частицы распределяются внутри вещества так, что создаваемое ими электрическое поле, в среднем, равно нулю. При наличии внешнего поля происходит перераспределение заряженных частиц, и в веществе возникает собственное электрическое поле. Полное электрическое поле складывается в соответствии с принципом суперпозиции из внешнего поля и внутреннего поля , создаваемого заряженными частицами вещества.

Вещество многообразно по своим электрическим свойствам. Наиболее широкие классы вещества составляют проводники и диэлектрики.

Основная особенность проводников - наличие свободных зарядов (электронов), которые участвуют в тепловом движении и могут перемещаться по всему объему проводника. Типичные проводники - металлы.

В отсутствие внешнего поля в любом элементе объема проводника отрицательный свободный заряд компенсируется положительным зарядом ионной решетки. В проводнике, внесенном в электрическое поле, происходит перераспределение свободных зарядов, в результате чего на поверхности проводника возникают нескомпенсированные положительные и отрицательные заряды (рис. 11.1). Этот процесс называют электростатической индукцией, а появившиеся на поверхности проводника заряды – индукционными зарядами.

Рис. 11.1

Индукционные заряды создают свое собственное поле , которое компенсирует внешнее поле во всем объеме проводника, при этом внутри проводника поле .

Полное электростатическое поле внутри проводника равно нулю, а потенциалы во всех точках одинаковы и равны потенциалу на поверхности проводника.

Все внутренние области проводника, внесенного в электрическое поле, остаются электронейтральными. Если удалить некоторый объем, выделенный внутри проводника, и образовать пустую полость, то электрическое поле внутри полости будет равно нулю. На этом основана электростатическая защита - чувствительные к электрическому полю приборы для исключения влияния поля помещают в металлические экраны (рис. 11.2).

Рис. 11.2

Так как поверхность проводника является эквипотенциальной, силовые линии вектора у поверхности перпендикулярны к ней.

В отличие от проводников, в диэлектриках (изоляторах) нет свободных электрических зарядов. Они состоят из нейтральных атомов или молекул. Заряженные частицы в нейтральном атоме связаны друг с другом и не могут перемещаться под действием электрического поля по всему объему диэлектрика.

При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле в нем возникает некоторое перераспределение зарядов, входящих в состав атомов или молекул. В результате такого перераспределения на поверхности диэлектрического образца появляются избыточные нескомпенсированные связанные заряды. Все заряженные частицы, образующие макроскопические связанные заряды, по-прежнему входят в состав своих атомов.

Связанные заряды создают электрическое поле , которое внутри диэлектрика направлено противоположно вектору напряженности внешнего поля. Этот процесс называется поляризацией диэлектрика. В результате полное электрическое поле внутри диэлектрика оказывается по модулю меньше внешнего поля в раз ().

Физическая величина, равная отношению модуля напряженности внешнего электрического поля в вакууме к модулю напряженности полного поля в однородном диэлектрике, называется диэлектрической проницаемостью вещества (или относительной диэлектрической проницаемостью):

. (11.1)

Существует несколько механизмов поляризации диэлектриков. Основными из них являются ориентационная и электронная поляризации. Эти механизмы проявляются главным образом при поляризации газообразных и жидких диэлектриков.

Ориентационная или дипольная поляризация возникает в случае полярных диэлектриков, состоящих из молекул, у которых центры распределения положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Такие молекулы представляют собой микроскопические электрические диполи – нейтральную совокупность двух зарядов, равных по модулю и противоположных по знаку, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. Дипольным моментом обладает, например, молекула воды, а также молекулы ряда других диэлектриков (H₂S, NO₂ и т. д.).

При отсутствии внешнего электрического поля оси молекулярных диполей ориентированы хаотично из-за теплового движения, так что на поверхности диэлектрика и в любом элементе объема электрический заряд в среднем равен нулю.

При внесении диэлектрика во внешнее поле возникает частичная ориентация молекулярных диполей. В результате на поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные макроскопические связанные заряды, создающие поле , направленное навстречу внешнему полю (рис. 11.3).

Поляризация полярных диэлектриков сильно зависит от температуры, так как тепловое движение молекул играет роль дезориентирующего фактора.

Электронный или упругий механизм проявляется при поляризации неполярных диэлектриков, молекулы которых не обладают в отсутствие внешнего поля дипольным моментом. Под действием электрического поля молекулы неполярных диэлектриков деформируются – положительные заряды смещаются в направлении вектора , а отрицательные – в противоположном направлении.

Рис. 11.3

В результате каждая молекула превращается в электрический диполь, ось которого направлена вдоль внешнего поля. На поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные связанные заряды, создающие свое поле , направленное навстречу внешнему полю . Так происходит поляризация неполярного диэлектрика (рис. 11.4).

Рис. 11.4

Деформация неполярных молекул под действием внешнего электрического поля не зависит от их теплового движения, поэтому поляризация неполярного диэлектрика не зависит от температуры.

Примером неполярных молекул могут служить молекулы метана CH₄, углекислого газа CO₂, кислорода O₂, водорода H₂ и т.д.

Электрическое поле связанных зарядов, возникающее при поляризации полярных и неполярных диэлектриков, изменяется по модулю прямо пропорционально модулю внешнего поля .

Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике. Как отмечалось ранее, при помещении диэлектрика во внешнее электростатическое поле он поляризуется, т. е. приобретает отличный от нуля дипольный момент. Для ко­личественного описания поляризации ди­электрика пользуются вектором поляризации (поляризованностью), который определяетсякак дипольный момент единицы объема ди­электрика.

Из опыта следует, что для большого класса диэлектриков вектор поляризации линейно зависит от напряженности поля . Если диэлектрик изотропный и напряженность не слишком велика, то

, (11.2)

где - диэлектрическая восприимчивость вещества.

Связь между относительной диэлектрической проницаемостью и диэлектрической восприимчивостью вещества

. (11.3)

Если в однородном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью находится точечный заряд , то напряженность поля в некоторой точке диэлектрика, и потенциал в раз меньше, чем в вакууме:

, , (11.4)

Электрическое смещение. Напряженность электростатического поля, согласно (11.4), обратно пропорциональна . Вектор напряженности , переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачкообразное изменение, создавая тем самым неудобства при расчете электростатических полей. Поэтому оказалось необхо­димым характеризовать поле вектором электрического смещения

. (11.5)

Единица электрического смещения - 1 Кл/м².

Линии вектора могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах - свободных и связанных, в то время как линии вектора - только на свободных зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора проходят не прерываясь.