2015-03-07
2597
Под вероятностью, в широком смысле, понимают количественную меру неопределенности. Это – число, которое выражает степень уверенности наступления того или иного случайного события.
Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания. В дальнейшем для простоты мы будем опускать термин «случайный».
Мы определим испытание (опыт, эксперимент) как процесс, включающий определенные условия, которые приводят к одному из нескольких возможных исходов. Исходом опыта может быть результат наблюдения или измерения. Единичный, отдельный исход испытания называется элементарным событием.
Достоверное событие – это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания. Например, если в урне содержатся только белые шары, то извлечение из нее белого шара есть событие достоверное.Другой пример, если мы подбросим вверх камень, то он обязательно упадет на Землю в силу действия закона притяжения, то есть результат этого опыта заведомо известен. Достоверные события условимся обозначать символом W.
Невозможное событие – это событие, которое не может произойти в результате данного опыта (испытания). Извлечение черного шара из урны с белыми шарами есть событие невозможное событие. Невозможное событие обозначим Æ.
Совместные события. Несколько событий, называются совместными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появление других. Например, в магазин вошел покупатель. События «в магазин вошел покупатель старше 60 лет» и «в магазин вошла женщина» - совместные, так как в магазин может войти женщина старше 60 лет.
Несовместные события. Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или одно, или два, или все события из рассматриваемой совокупности событий произойдут; одно точно произойдет).
Равновозможные события. Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие. При бросании игральной кости появление каждой из ее граней – события равновозможные.
Противоположные события. Два единственно возможных события называются противоположными: если А – событие, то 
- противоположное ему событие. Купля и продажа определенного вида товара есть события противоположные.
Полная группа событий. Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называется полной группой событий.
Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементов исходов.
Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех исходов через N,тогда
(2.1)
где М – целое неотрицательное число, 0 £ М£ N
Другой тип объективной вероятности определяется исходя из относительной частоты (частости) проявления события. Если, к примеру, некоторая фирма в течении времени провела опрос 1000 покупателей нового сорта напитка и 20 из них оценили его как вкусный, то мы можем оценить вероятность того, что потребителям понравится новый напиток как 20/1000=0,02. В этом примере 20- это частота наступления события, а 20/1000=0,02 – это относительная частота.
Относительной частотой события называется отношение числа
испытаний т, при которых событие появилось, к общему числу проведенных испытаний п. 
, (2.2)
где т – целое неотрицательное число, 0 £ т£ п
Статистической вероятностью 
называется относительная частота (частость) этого события А, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Будем обозначать ее : 
. При очень большом числе испытаний статистическая вероятность приближенно равна классической вероятности, т.е. 
.
Свойства вероятности, вытекающие из классического определения.
1. Вероятность достоверного события рана 1.
2. Вероятность невозможного события равна 0.
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1.
4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то есть 
или p+q=1, гдеp–вероятность события А, q–вероятность противоположного ему события.
Пример 1. Магазин в целях рекламы нового товара проводит лотерею, в которой 1 главный приз, 5 вторых призов, 100 третьих призов и 1000 четвертых призов. В конце рекламного дня выяснилось, что лотерейные билеты получили 10000 покупателей. По правилам розыгрыша, после извлечения выигрышного билета он не возвращается в урну, и покупатель не может получить более одного выигрыша. Чему равна вероятность того, что покупатель, который приобрел рекламируемый товар: а) выиграет первый приз; б) выиграет любой приз; в) не выиграет ни одного приза?
Решение. Определим событие А: «Покупатель выиграет первый приз». Согласно условию задачи в лотерее участвовало 10000 покупателей, отсюда общее число испытаний N= 10000, а число исходов, благоприятствующих событию А, М=1. Все исходы являются равновозможными, единственно возможными и несовместными элементарными событиями. Следовательно, по формуле классической вероятности: 
Соответственно, определим событие В: «Покупатель выиграл любой приз». Для этого события число благоприятствующих исходов М=1+5+100+1000=1106.
Событие «Покупатель не выиграет ни одного приза» - противоположное событию В: «Покупатель выиграл любой приз», поэтому обозначим его как `В. По формуле найдем:
Ответ: а)0,0001; б)0,1106; в)0,8894.
Пример 2. Структура сотрудников в региональном отделении банка имеет следующий вид:
| Женщины | Мужчины | |
| Администрация Операторы |
Какова вероятность, что наудачу выбранный сотрудник окажется: а) мужчина - администратор б) женщина – оператор в)Мужчина г) оператор?
Решение. а) В банке работают 100 человек, N=100. Из них 15 – мужчин – администраторов, M =15. Следовательно, Р(мужчина-администратор) = 
б) 35 сотрудников в банке – женщины – оператор. Следовательно, Р(женщина – оператор) = 
в)40 сотрудников в банке – мужчины. Следовательно, Р(мужчина) = 
г) Из общего числа служащих в банке 60 – операторы, Следовательно,
Р(оператор) = 
Ответ. а) 0,15; б) 0,35; в) 0,4; г) 0,6
