Задача Коши для волнового уравнения

1. Приведение одновременного волнового уравнения к канонической форме и его решение

– уравнение гиперболического типа

………

Общим решением полученного уравнения будет являться решение

где

и - любые дифференцируемые произвольные функции.

Заменяя ξ и η на их определение, получаем общее решение волнового уравнения в виде

С физической точки зрения это решение интересно тем, что представляет собой сумму 2-х бегущих волн, движущихся в противоположных направлениях со скоростью а.

2. Решение Даламбера одномерного однородного волнового уравнения

- определим функции φ и ψ однозначным образом, исходя из начальных условий

сложим:

вычитаем:

Подставим найденное выражение в общее решение исходного однородного уравнения:

- решение однородной задачи Коши для бесконечной струны (формула Даламбера).

3. Неоднородная задача

Будем искать решение в виде суммы 2-х функций.

1) - решение однородной задачи

2) - решение неоднородной задачи с однородными краевыми условиями

Решение 1-ой задачи – формула Даламбера

2-я задача решение:

	R – треугольник ABP

Уравнения прямой:

Уравнения прямой:

От обеих частей уравнения

- возьмем интеграл по области R

по формуле Грина (Стокса)

На

Подставляем в исходное уравнение

разделим на 2 а:

Следовательно, искомое решение неоднородного уравнения имеет вид: Римана – Вольтера

№8 Пример: Решить задачу Коши

a = 1