Структурные средние величины

Наиболее часто применяемыми структурными средними величинами являются: мода, медиана, квартили, децили, перцентили.

Все структурные средние являются именованными величинами.

Мода ( ) – величина признака (варианту), которая наиболее часто встречается в исходной совокупности.

В дискретном вариационном ряду модой является варианта, имеющая наибольшую частоту (частость).

Пример 5. Используя распределение 25 работников по тарифному разряду (цифры условные) рассчитать моду.

Тарифный разряд,	Число работников, чел.,
Итого

Решение. В данном примере наибольшей частоте ( = 6) соответствует величина признака, равная 4. Значит, = 4 тарифному разряду, т. е. наиболее часто в исходной совокупности встречаются работники, имеющие четвертый тарифный разряд.

В интервальном вариационном ряду с равными интервалами моду рассчитывают по формуле

,

где – нижняя граница интервала, содержащего моду;

– величина модального интервала;

– частота (частость) модального интервала;

– частота (частость) интервала, предшествующего

модальному;

– частота (частость) интервала, следующего за модальным.

Пример 6. По приведенным условным данным о трудовом стаже 20 работников отдела вычислить моду (по формулам и графически).

Стаж работы работников, лет	Численность работников, чел.
до 5
5 –10
10–15
15–20
Итого

Решение. По наибольшей частоте ( = 10) определяем, что модальным является интервал по стажу работы 10–15 лет. Подставим значения в формулу и вычислим моду

= 12,9 лет,

т. е. чаще встречаются работники, имеющие трудовой стаж примерно 13 лет.

В интервальном вариационном ряду моду можно вычислить графически по гистограмме (рис. 4).

Рис. 4. Гистограмма

В интервальном вариационном ряду с неравными интервалами моду рассчитывают по формуле

,

где z – плотности распределения = .

Пример 7. По приведенным условным данным вычислить моду

Размер заработной платы, руб. / мес.	Численность работников, чел.
до 5000
5 000–7 000
7 000–10 000
10 000–15 000
Итого

Решение. В данном вариационном ряду интервалы группировки неравные, все предварительные расчеты представим в таблице:

		=		=
до 5 000			2 000	0,0065
5 000–7 000			2 000	0,0200
7 000–10 000			3 000	0,0090
10 000–15 000			5 000	0,0040
Итого

Наибольшая плотность распределения = 0,020.

Это означает, что модальным является интервал 5 000 – 7 000 руб.

= 6 102 (руб.),

т. е. большинство сотрудников получают заработную плату в размере 6 102 руб. в месяц.

В интервальном вариационном ряду с неравными интервалами моду также можно вычислить графически по гистограмме (по аналогии с ее определением в интервальном вариационном ряду с равными интервалами, только по оси ординат вместо частот (частостей) откладывают соответствующие плотности распределения).

Медиана ( ) – значение признака (варианта), которое имеет единица совокупности, делящая исходную совокупность на две равные по числу единиц части, т. е. в соотношении : .

Квартиль (Q) – значение признака, которое делит исходную совокупность на 4 равные по числу единиц части. Например, при вычислении первого квартиля ( ) исходная совокупность делится в соотношении : , третьего ( ) – в соотношении : .

Дециль (D) – значение признака, который делит исходную совокупность на 10 равных частей. Например, при вычислении первого дециля ( ) исходная совокупность делится в соотношении : , а при вычислении девятого дециля ( ) исходная совокупность делится в соотношении : .

В дискретном вариационном ряду значениями медианы, квартилей и децилей являются варианты, соответствующие единицам совокупности, которые делят исходную совокупность в нужном соотношении.

Пример 8. По исходным данным примера 5 рассчитать медиану, третий квартиль и девятый дециль.

Решение. Вычислим накопленные частоты и определим порядковые номера соответствующих единиц совокупности.

		S
Итого		–

= 12,5 единица;

= 18,75 единица;

22,5 единица.

По накопленным частотам определяем, что 12,5-й единице совокупности соответствует значение признака, равное 4, т. е. = 4 тарифному разряду. Значит, половина работников исходной совокупности (50% работников) имеют 4 тарифный разряд и ниже, вторая половина работников (50%) имеют 4 тарифный разряд и выше.

Аналогично определяем, что Q₃ = 5 тарифный разряд, т. е. 75% работников имеют 5 тарифный разряд и ниже, а 25% работников – 5 тарифный разряд и выше.

D₉ = 6 тарифный разряд, т. е. 90% работников имеют 6 тарифный разряд и ниже, а 10% работников – 6 тарифный разряд.

В интервальном вариационном ряду медиану вычисляют по формуле

,

где – нижняя граница интервала, содержащего медиану;

– величина медианного интервала;

– сумма всех частот (частостей);

– накопленная частота (частость) интервала, предшествующего медианному;

– частота (частость) медианного интервала.

Расчет квартиля и дециля производится аналогично медиане. Например,

;

.

В интервальном вариационном ряду медиану, квартиль, дециль можно вычислить графически по кумуляте.

Пример 9. По исходным данным примера 7 вычислить , и (по формулам и графически).

Решение. Рассчитаем накопленные частоты и определим порядковые номера единиц, делящих исходную совокупность в нужном нам соотношении:

		S
до 5 000
5 000–7 000
7 000–10 000
10 000–15 000
Итого

= 15 (15-я единица).

По накопленным частотам определяем, что 15-я единица совокупности содержится в интервале 5 000–7 000 руб. Этот интервал является медианным. Подставим значения в формулу

(руб.). Половина работников отдела имеют размер заработной платы менее 6 833 руб., половина – более 6 833 руб.

= 7,5 (7,5 единица).

По накопленным частотам определяем, что первый квартиль находится в интервале 5 000 – 7 000 руб. Вычислим первый квартиль

+ = = = 5 583 (руб.).

Значит, 25% работников имеют размер заработной платы менее 5 583 руб., а 75% – больше 5 583 руб.

= = 24 (единица). По накопленным частотам определяем, что восьмой дециль содержится в интервале 7 000 – 10 000 руб. Вычислим его по формуле

= = 10 000% работников имеют размер заработной платы меньше 10 000 рублей, 20% – более 10 000 рублей.

Построим кумуляту (рис. 5).

Рис. 5