Эра компьютерных вычислений

Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов.Джон фон Нейман и другие использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр , которое заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году. Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря алгоритмам. Одним из самых значительных результатов было открытие в 1960 году быстрого преобразования Фурье, что позволило быстро осуществлять арифметические операции над очень большими числами.

В начале XX века индийский математик Сриниваса Рамануджан обнаружил множество новых формул для , некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд:

.

Братьями Чудновскими в 1987 году найдена похожая на неё:

,

которая даёт примерно по 14 цифр на каждый член ряда. Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении в конце 1980-х, включая то, в результате которого в 1989 году было получено 1 011 196 691 цифр десятичного разложения. Эта формула используется в программах, вычисляющих на персональных компьютерах, в отличие отсуперкомпьютеров, которые устанавливают современные рекорды.

В то время как последовательность обычно повышает точность на фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу умножают количество правильных цифр, требуя, правда, высоких вычислительных затрат на каждом из таких шагов. Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году, когда Ричард Брент^{[убрать шаблон]} и Юджин Саламин(англ. Eugene Salamin (mathematician)) независимо друг от друга открыли алгоритм Брента — Саламина(англ. Gauss–Legendre algorithm), который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков^[9]. Алгоритм состоит из установки начальных значений

и итераций:

пока a_n и b_n не станут достаточно близки. Тогда оценка даётся формулой

При использовании этой схемы 25 итераций достаточно для получения 45 миллионов десятичных знаков. Похожий алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, был найденДжонатаном Боруэйном (англ. Jonathan Borwein) Питером Боруэйном (англ. Peter Borwein)^[10]. При помощи этих методов Ясумаса Канада и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления вплоть до 206 158 430 000 знаков в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков. Хотя большинство предыдущих рекордов Канады были установлены при помощи алгоритма Брента — Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере Hitachi из 64 узлов с 1терабайтом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду.

Важным развитием недавнего времени стала формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа, открытая в 1997 году Саймоном Плаффом (англ. Simon Plouffe) и названная по авторам статьи, в которой она впервые была опубликована^[11]. Эта формула,

примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа без вычисления предыдущих^[11]. С 1998 до 2000 года распределённый проект PiHexиспользовал видоизменённую формулу ББП Фабриса Беллара для вычисления квадриллионного бита числа , который оказался нулём^[12].

В 2006 году Саймон Плафф, используя PSLQ, нашёл ряд красивых формул^[13]. Пусть q = e^π, тогда

и другие вида

где q = e ^π, k — нечётное число, и a, b, c — рациональные числа. Если k — вида 4 m + 3, то эта формула имеет особенно простой вид:

для рационального p у которого знаменатель — число, хорошо разложимое на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено.

В августе 2009 года учёные из японского университета Цукубо рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов^[14].

31 декабря 2009 года французский программист Фабрис Беллар на персональном компьютере рассчитал последовательность из 2 699 999 990 000 десятичных разрядов^[15].

2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо (яп.)русск.рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой^[16][17].

19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой^[18][19].

Рациональные приближения

· — Архимед (III век до н. э.) — древнегреческий математик, физик и инженер;

· — Ариабхата (V веке н. э.) — индийский астроном и математик;

· — Цзу Чунчжи (V веке н. э.) — китайский астроном и математик.

Сравнение точности приближений:

Число	Округленное значение	Точность (совпадения разрядов)
	3,14159265…
	3,14285714…	2 разряда после запятой
	3,14166667…	3 разряда после запятой
	3,14159292…	6 разрядов после запятой

Нерешённые проблемы

· Неизвестно, являются ли числа и алгебраически независимыми.

· Неизвестна точная мера иррациональности для чисел и (но известно, что для она не превышает 7,6063)^[20].

· Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: Ни для одного из них неизвестно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом^{[6][21][22][23][24][25]}.

· Неизвестно, является ли целым числом при каком-либо положительном целом (см. тетрация). Неизвестно даже, является ли целым.

· Неизвестно, принадлежит ли к кольцу периодов.

· До сих пор ничего неизвестно о нормальности числа ; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа бесконечное количество раз.

Метод иглы Бюффона

На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну. Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к при увеличении числа бросков до бесконечности.^[26] Данный метод иглы базируется на теории вероятностей и лежит в основе метода Монте-Карло.^[27]

Мнемонические правила

Стихотворение для затвердевания в памяти 8-11 знаков числ π:

Чтобы нам не ошибаться, Надо правильно прочесть: Три, четырнадцать, пятнадцать, Девяносто два и шесть. Надо только постараться И запомнить всё как есть: Три, четырнадцать, пятнадцать, Девяносто два и шесть.

Три, четырнадцать, пятнадцать, Девять, два, шесть, пять, три, пять. Чтоб наукой заниматься, Это каждый должен знать. Можно просто постараться И почаще повторять: «Три, четырнадцать, пятнадцать, Девять, двадцать шесть и пять».

Запоминанию может помогать соблюдение стихотворного размера:

Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять
Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один

Существуют стихи, в которых первые цифры числа π зашифрованы в виде количества букв в словах:

Это я знаю и помню прекрасно: Пи многие знаки мне лишни, напрасны. Доверимся знаньям громадным Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.

Раз у Коли и Арины Распороли мы перины. Белый пух летал, кружился, Куражился, замирал, Ублажился, Нам же дал Головную боль старух. Ух, опасен пуха дух! — Георгий Александров

Подобные стихи существовали и в дореформенной орфографии. В следующем стихотворении, чтобы узнать соответствующую цифру числа π, надо считать и букву «еръ»:

Кто и шутя и просто пожелаетъ
Пи число узнать — ужъ знаетъ.

Стихи, облегчающие запоминание числа π, есть и в других языках. Например, это стихотворение на французском языке позволяет запомнить 126 первых цифр числа π.

Дополнительные факты

Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием Музея искусств вСиэтле

· Древние египтяне и Архимед принимали величину от 3 до 3,160, арабские математики считали число .^[28]

· Мировой рекорд по запоминанию знаков числа после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки.^[29][30] В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число до 100-тысячного знака после запятой,^[31] однако проверить это официально не удалось.^[32]

· В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен билль (см.:en:Indiana Pi Bill), законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2.^[33] Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессорауниверситета Пердью, присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона.

· «Число Пи для гренландских китов равно трем» написано в «Справочнике китобоя» 1960-х годов выпуска.^[34]

· По состоянию на 2010 год вычислено 5 триллионов знаков после запятой^[17].

· По состоянию на 2011 год вычислено 10 триллионов знаков после запятой^[19].

В культуре

· Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи.

· Неофициальный праздник «День числа пи» ежегодно отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа . Считается^[35], что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159.

· Ещё одной датой, связанной с числом , является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа .