Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:

,

где и — непрерывно дифференцируемые функции от . С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла . Ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

Применяется формула в следующих случаях:

1) Подынтегральная функция является произведением многочлена на показательную или тригонометрическую функцию.

Это интегралы вида: , , .

В этом случае в качестве выбирается многочлен .

Пример. .

Решение. Подынтегральная функция есть произведение многочлена на тригонометрическую функцию (1 случай). Поэтому в качестве выбирается многочлен.

.

2) Подынтегральная функция является произведением многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.

Это интегралы вида: , , , , .

В качестве следует принимать обратную тригонометрическую или логарифмическую функцию.

Пример. .

Решение. Подынтегральная функция есть логарифмическая функция (2 случай). Поэтому в качестве выбирается логарифмическая функция.

.