Кривые второго порядка. Уравнения второго порядка от двух переменных

Уравнения второго порядка от двух переменных

Ax ² + 2 Bxy + Cy ² + 2 Dx + 2 Ey + F = 0

описывают конические сечения или кривые второго порядка на плоскости – окружность, эллипс, параболу, гиперболу. Построим канонические уравнения этих кривых по алгоритму

Окружность

2) Общее свойство точек окружности | CM | = R.

3) Переход к координатной форме общего свойства

= R,

(x – a)² + (y – b)² = R ². (34)

Эллипс

Определение. Эллипс образуют точки плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от двух данных точек постоянна и больше расстояния между этими точками.

Данные точки – фокусы, расстояние между ними – фокальные расстояния.

2) Общее свойство: | F ₁ M | + | F ₂ M | = 2 a.

3) Переход к координатам

+ = 2 a,

= 2 a – = a – (c / a) x

[(a ² – c ²)/ a ²] x ² + y ² = a ² – c ².

Пусть a ² – c ² b ², тогда получаем каноническое уравнение эллипса

. (35)

Точки А (а; 0), С (– а; 0), В (0; b), D (0; – b) – вершины эллипса, АС – большая ось, ВD – малая ось, а, в – полуоси. Отношение с / а = – эксцентриситет (0 < <1) определяет переход окружности в прямую линию. Оси координат являются осями симметрии эллипса, а их начало – центром симметрии. Координата фокуса
c = .

Параметрическое уравнение эллипса: x = a cos t, y = b sin t, 0 < t < 2 .

Пример. Наименьшее расстояние Земли от Солнца 147,5 млн. км, наибольшее – 152,5 млн. км. Найти большую полуось и эксцентриситет эллиптической орбиты Земли.

Решение: max = a + c = 152,5, min = a – c = 147,5 a = 150 млн. км,
с = 2,5 млн. км, b = = 149,98 млн. км = c / a = 0,017, a – b = 20 т. км.

Пример. Расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось равна 3. Написать уравнение эллипса.

Решение: т.к. 2с = 8 и b = 3, то c = 4, a = = 5, = c/a = 0,8, .

Гипербола

Определение. Гиперболу образуют точки плоскости для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек плоскости постоянен и меньше расстояния между этими точками.

Данные точки – фокусы, а расстояние между ними – фокальное расстояние.

2) Общее свойство точек | F ₁ M | – | F ₂ M | = 2a.

3) Переход к координатам дает каноническое уравнение гиперболы

. (36)

Гипербола имеет две ветви. Точки пересечения гиперболы с осью Ох называются вершинами гиперболы. А (а; 0) и В (– а; 0). Отрезок АВ – действительная ось гиперболы. Число а – действительная полуось гиперболы, в – мнимая полуось. Прямые с уравнениями y = b / a х и y = – b / a х называются асимптотами гиперболы. При х ветви гиперболы вплотную проходят вдоль этих прямых.

Оси координат являются осями симметрии гиперболы, а их начало – центром симметрии. Координата фокуса c = . Форму гиперболы характеризует эксцентриситет с / а = > 1. Чем меньше, тем меньше угол между асимптотами, сжимающими ветвь гиперболы.

Алгоритм построения графика гиперболы

1.Через концы осей провести прямые параллельные осям координат.

2. Провести диагонали прямоугольника и их продолжение.

3.От концов действительной оси в сторону асимптот провести сами кривые.

Пример. Даны: вещественная полуось a = 2 и эксцентриситет
= . Написать уравнение гиперболы.

Решение: т.к. с = a , то b = = a = 2 и .

Парабола

Определение. Параболу образуют точки плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки равно расстоянию до данной прямой, не проходящей через данную точку.

Данная точка называется фокусом параболы, а данная прямая называется директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром и обозначается p. Уравнение директрисы x = – p /2.