Преобразование координат на плоскости

Параллельный перенос системы координат. Имеем прямоугольную систему координат хОу с центром в точке О (0; 0) Через некоторую точку O*(a; b) проведем новые оси координат параллельные Ох, Оу, сохранив направление и масштаб. Координаты произвольной точки М (х; у) в новой системе координат x * O * y * примут значения

x * = x – a или x = x * + a,

y * = y – b или y = y * + b, (37)

т.е. параллельный перенос системы координат приводит к линейным преобразованиям координат.

Поворот системы координат. Систему координат хОу с ортами i, j повернем на угол относительно начала координат и введем новые орты i *, j *. Выразим старые орты через новые

i = cos i * – sin j *,

j = sin i * + cos j *.

Радиус вектор произвольной точки М (x; y) разложим по ортам i, j и перейдем от них к ортам i *, j *

= { x; y } = x i + y j = x (cos i * – sin j *) + y (sin i * + cos j *) =

= (x cos + y sin ) i * + (– x sin + y cos ) j * = { x *; y *}.

В результате получаем следующую формулу преобразования координат при повороте осей на угол

x * = x cos + y sin ,

y * = – x sin + y cos . (38)

Все возможные преобразования системы координат на плоскости сводятся к параллельному переносу и повороту осей координат.