Расстояние от точки до прямой. Пусть М* – любая точка плоскости, d – её расстояние от данной прямой

Пусть М ^* – любая точка плоскости, d – её расстояние от данной прямой.

Определение. Отклонением точки М * от данной прямой называется число (+ d), если М * лежит по ту сторону от прямой, куда указывает положительное направление нормали, и (– d) – в обратном случае.

= ± d

Теорема. Пусть точка М* (х*, у*)произвольная точка плоскости, L – прямая, заданная уравнением x cosα + y sinα – р = 0. Отклонение точки М* от этой прямой задается формулой

. (17)

Доказательство. Проекция точки М * на нормаль – точка . Отклонение точки М * от прямой

δ= PQ = OQ – OP.

Но OQ = np_n , а ОР = р δ = np_n * - р

np_n = .

Таким образом, отклонение точки М* от прямой легко вычисляется, если прямая задана нормальным уравнением. Достаточно лишь подставить в нормальное уравнение прямой координаты точки.

Пусть прямая задана общим уравнением: Ах + Ву + С = 0, а

x cosα + y sinα – р = 0 – её нормальное уравнение.

Поскольку два уравнения определяют одну прямую, их коэффициенты должны быть пропорциональны. Уравнение

(18)

совпадает с нормальным уравнением. Тогда

;

.

Отсюда можно найти :

– нормирующий множитель уравнения прямой.

Определим знак нормирующего множителя:

µ С = - р < 0.

Следовательно, знак µ противоположен знаку С в уравнении. (Если С = 0 – знак µ произвольный).