Уравнение пучка прямых

Определение. Совокупность всех прямых, проходящих через некоторую точку S (х₀, у₀), называется пучком прямых с центром S.

Теорема. Пусть и – уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S,

α и β – числа не равные нулю одновременно. Тогда

α(А₁х + В₁у + С₁) + β(А₂х + В₂у + С₂) = 0 (*)

– это уравнение прямой, проходящей через точку S.

Доказательство.

Докажем, что соотношение (*) является уравнением 1-ой степени.

Запишем его в виде

и покажем, что и не обращаются в ноль одновременно.

Докажем от противного: пусть . Тогда

и .

Следовательно, . Но этого не может быть, т. к. по условию прямые пересекаются. Наше предположение оказалось неверно, и не равны нулю одновременно, т. е. равенство (*) – уравнение с двумя переменными (х,у). Это уравнение 1-ой степени, которое определяет прямую.

Остается доказать, что эта прямая проходит через точку S. Пусть х₀, у₀ – координаты точки S. Они удовлетворяют каждому из двух уравнений прямых, следовательно, для любых значений и выполняется равенство