Примеры задач на тему «прямая на плоскости»

Задача 1. Расстояние от точки до прямой.

Пусть прямая L задана уравнением . Точка М *(4, 3) – произвольная точка плоскости. Найти отклонение и расстояние точки М * от прямой L.

Решение. Приведем уравнение прямой к нормальному виду. Найдем нормирующий множитель:

.

Умножив уравнение прямой на нормирующий множитель, получим нормальное уравнение прямой:

.

Подставив в нормальное уравнение прямой координаты точки М *, получим отклонение точки от прямой:

. Расстояние .

Задача 2. Проекция точки на прямую.

Найти проекцию точки Р (4, 9) на прямую, проходящую через точки А (3, 1) и В (5, 2).

Решение.

1). Построим прямую L ₁, проходящую через две заданные точки:

.

2). Через точку Р (4, 9) проведем прямую L ₂ , перпендикулярную прямой L ₁ .

Используем уравнение . Угловой коэффициент k найдем из условия перпендикулярности прямых:

.

Уравнение прямой L ₂: .

3). Найдем точку пересечения прямых L ₁ и L ₂ . Для этого решим систему уравнений, задающих эти прямые.

=> .

Проекцией точки Р на прямую L ₁ является точка P ₁ (7, 3).

Задача 3. Дана прямая . Составить уравнение прямой L «в отрезках».

Решение. Уравнение прямой преобразуем к виду

и разделим на (-15):

.

Точки пересечения данной прямой с координатными осями (-5, 0) и (0, 3).