Модель парной линейной регрессии

В парном регрессионном анализе исследуется зависимость переменной y от одной объясняющей переменной х. В экономической теории эта проблема решается путем приведения соотношения, как если бы оно было точным, и предупреждением читателя о том, что это аппроксимация. Отметим, что не следует ожидать получения точного соотношения между какими-либо двумя экономическим показателями, за исключением тех случаев, когда оно существует по определению. В эконометрике факт неточности соотношения признается путем явного включения в него случайного фактора, описываемого случайным остаточным членом.

Модель парной линейной регрессии имеет вид:

,

(8)

где ‑ зависимая переменная (объясняемая),

‑ независимая переменная (объясняющая),

‑ параметры модели,

‑ случайный остаточный член (случайная ошибка).

Константу α называют также свободным членом, а угловой коэффициент β ‑ регрессионным коэффициентом.

Оценка параметров модели основана на имеющейся выборке парных наблюдений объема n: (x1, y1), … (xn, yn).

Для оценки используется уравнение:

,

(9)

где ‑ прогнозируемое значение объясняемой переменной;

a – статистическая оценка параметра α;

b ‑ статистическая оценка параметра β.

Уравнение (9) задает прямую линию на плоскости (в пространстве двух измерений). Более подробно: переменная может быть выражена через константу (a) и угловой коэффициент (b), умноженный на переменную x.

Разность между фактическим значение зависимой переменной и значением, прогнозируемым по уравнению регрессии, называется остатком. Остатки e_i вычисляются по формуле:

.

(10)

Принципиальная схема модели парной линейной регрессии приведена на рис. 1.

Рисунок 1 – Принципиальная схема модели парной линейной регрессии

Есть два предварительных шага для определения существования и степени линейной зависимости между переменными.

Первый шаг заключается в построении диаграммы рассеяния – графическом отображении точек (x1, y1), … (xn, yn) на плоскости. Анализируя диаграмму рассеяния, мы можем эмпирически решить, допустимо ли предположение о линейной зависимости между х и y. Пример построения диаграммы рассеяния приведен на рис. 2.

Вторым шагом является вычисление выборочного коэффициента корреляции r по формуле:

,

(11)

Рисунок 2 – Пример диаграммы рассеяния: зависимость между среднедушевым потреблением и производством молока по регионам Российской Федерации (каждая точка на диаграмме представляет данные для одного региона)

где

,

(12)

соответствующие выборочные средние для переменных х и y.

В рассматриваемом примере коэффициент корреляции между среднедушевым потреблением и среднедушевым производством молока в регионах Российской Федерации r=0.76.