Студопедия
МОТОСАФАРИ и МОТОТУРЫ АФРИКА !!!

Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Задание 14. Нахождение производных и дифференциалов функций – 2 ч




Цель: формирование умения находить производные и дифференциалы функций, используя правила и формулы дифференцирования, технику дифференцирования сложной функции.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&14.1.Выучите определение производной функции в точке, с помощью таблицы «Формулы дифференцирования» проанализируйте, как находятся производные основных элементарных функций. Запомните правила дифференцирования функций и выясните, как они применяются. Изучите технику нахождения производной функции.

i 14.2. Найдите производную функции:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Вам известно, что к созданию дифференциального исчисления одновременно и независимо друг от друга в семнадцатом веке пришли гениальные ученые Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц. Они использовали абсолютно разные подходы. Концепция Лейбница базировалась на введенном им понятии дифференциала. Однако в научных кругах достаточно долго не утихала бурная дискуссия о приоритете изобретения дифференциального исчисления. Вероятно, именно ее имел в виду замечательный русский поэт, когда писал такие строки:

О Лейбниц, о мудрец, создатель вещих книг!

Ты выше мира был, как древние пророки.

Твой век, дивясь тебе, пророчеств не достиг

И с лестью смешивал безумные упреки.

Выполнив задание 14.2 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы узнаете фамилию автора стихотворения - поэта серебряного века.

Фамилия автора стихотворения:

а) б) в) г) д)
Г.В.Лейбниц (1646-1716)
е)

           

Карта ответов:

Ч Б Ж Л Н
В И Ы Р
 
Е П К Ю
   
О М А
 
С Й  
   

&14.3. Выясните, как находится производная функции в точке.

?14.4. Найдите производную функции в указанной точке:

а) ;

б) .

&14.5. Выучите определение дифференциала функции и запомните формулу, которая используется для его нахождения.

?14.6. Найдите дифференциал функции:

а) ; б) .

¶ 14.7. Выясните, при каких значениях x производная функции отрицательна.

¶ 14.8. Найдите область определения функции, полученной в результате дифференцирования данной функции: .

&14.9.Выучите, какую функцию называют сложной. Запомните правило дифференцирования сложной функции. Изучите технику нахождения производной сложной функции.

?14.10. Найдите производную сложной функции:




а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; ¶е) ; ¶ж) .

?14.11. Найдите производную сложной функции в точке:

а) ; б) ; ¶в) .

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

или .
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функции есть некоторая функция , производная из данной функции. Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: или .

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Для нахождения производных основных элементарных функций удобно использовать следующую таблицу: «Формулы дифференцирования».

Формулы дифференцирования:

  1. c' = 0
  2. x' = 1
  3. (xn)' = п·xn-1
  1. (sin x)' = cos x
  2. (cos x)' = -sin x
  3. (tg x)' =
  4. (ctg x)' = -
 
6. (ex)' = ex 7. (ax)' = ax lna 8. (ln x)' = 9. (logax)' =
  1. (arcsin x)' =
  2. (arccos x)' =
  3. (arctgx)' =
  4. (arcctgx)' =

В ряде случаев, если функция представляет собой сумму, разность, произведение или частное двух функций, для нахождения ее производной используются правила дифференцирования.

Пусть u и v – дифференцируемые функции, с – константа. Тогда справедливы правила нахождения производной суммы, произведения и частного двух функций:

1. (cu)' = c u'

  1. (u ± v)' = u' ±v'
  2. (u∙v)' = u'v + v'u

Таким образом, для нахождения производной функции удобно использовать следующую технику. Определите, что представляет собой функция. Если она является основной элементарной – для нахождения производной сразу используйте таблицу «Формулы дифференцирования». В тех случаях, когда перед Вами сумма, разность, произведение или частное функций – сначала используйте соответствующее правило дифференцирования, затем (для дифференцирования основной элементарной функции) таблицу «Формулы дифференцирования».



Рассмотрим примеры решения типовых задач.

Пример 1.Найдите производную функции .

Решение. Функция представляет собой сумму и разность функций. Тогда для нахождения её производной воспользуемся правилом (u ± v)' = u' ±v':

.

Константу можно вынести за знак производной по правилу: (cu)' = c u'. Тогда

.

Далее воспользуемся формулами нахождения производных:

= .

Ответ: .

Пример 2.Найдите производную функции .

Решение. Функция представляет собой частное функций. Тогда для нахождения её производной воспользуемся правилом :

= = =

= . Ответ: .

Если производная функции в общем случае представляет собой некоторую функцию, то производная функции в точке является числом. Для нахождения производной функции в точке надо продифференцировать данную функцию, а затем в полученное выражение вместо аргумента подставить указанную точку.

Пример 3. Найдите производную функции в точке хо.

Решение. Сначаланайдем производную функции как производную произведения. Воспользуемся правилом (u·v)' = u'v + v'u:

= = .

Для нахождения производной функции в точке в производную вместо аргумента подставим :

Тогда = =1+1=2.

Ответ: =2.

Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ): . Поскольку дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: , дифференциал функцииравен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной:

Пример 4. Найдите дифференциал функции .

Решение. По формуле находим:

.

Ответ: .

Рассмотрим функции у=f(и) и и=g(x). Тогда функция у=f(g(x)) будет называться сложной функцией. Например, если , а , то будет являться сложной функцией.

Для нахождения производной сложной функции используется следующая теорема: если функция g(x) дифференцируема по переменной х, а функция f(и) дифференцируема по переменной и, то сложная функция у=f(g(x)) дифференцируема по переменной х, причем её производная вычисляется по формуле: у'х=f'(и)·g'(x).

Функцию f(и) называют основной функцией, а и – «сложностью». Тогда правило нахождения производной сложной функции будет иметь вид: производная сложной функции равна производной основной функции, умноженной на производную «сложности»: у'х=f'(и)·и'.

Для нахождения производных конкретных сложных функций целесообразно использовать следующую технику: принять какое-либо выражение за и, чтобы прийти к одной из формул таблицы «Формулы дифференцирования сложных функций».





Дата добавления: 2015-04-01; просмотров: 2101; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше... 9463 - | 7502 - или читать все...

Читайте также:

  1. E) Погрешности функций измеренных величин
  2. End Sub. РИСУНОК 6. Использование метода Debug.Print для тестирования встроенных функций
  3. FПодсказка. Посмотри задание А10, чтобы вспомнить признаки причастия и спряжения глаголов
  4. I часть. Построение. Рассчитать класс на первый-второй и объяснить задание
  5. I. Выполнение письменного задания (реферата). В процессе изучения дисциплины «Корпоративные финансы» студенты выполняют письменное задание − реферат
  6. I. Изучающее чтение. (40 мин) Направлено на формирование компетенции ОК-5. Задание 1. Изучить новые слова
  7. I. Оргмомент. 1.Развитие зрительного восприятия С задание 1
  8. I. Решите практическое задание
  9. II. Классификации основных видов нарушений функций организма и степени их выраженности
  10. II. Основная часть занятия. 1. Сравнение букв, сходных по начертанию (задание 1
  11. II. Основная часть занятия. 1.Работа со словами-паронимами С задание 6
  12. II. Основная часть занятия. 1.Сравнение букв по начертанию (задание 1


 

3.233.239.102 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.008 сек.