double arrow

Задание 14. Нахождение производных и дифференциалов функций – 2 ч

Цель: формирование умения находить производные и дифференциалы функций, используя правила и формулы дифференцирования, технику дифференцирования сложной функции.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&14.1.Выучите определение производной функции в точке, с помощью таблицы «Формулы дифференцирования» проанализируйте, как находятся производные основных элементарных функций. Запомните правила дифференцирования функций и выясните, как они применяются. Изучите технику нахождения производной функции.

i 14.2. Найдите производную функции:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Вам известно, что к созданию дифференциального исчисления одновременно и независимо друг от друга в семнадцатом веке пришли гениальные ученые Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц. Они использовали абсолютно разные подходы. Концепция Лейбница базировалась на введенном им понятии дифференциала. Однако в научных кругах достаточно долго не утихала бурная дискуссия о приоритете изобретения дифференциального исчисления. Вероятно, именно ее имел в виду замечательный русский поэт, когда писал такие строки:

О Лейбниц, о мудрец, создатель вещих книг!

Ты выше мира был, как древние пророки.

Твой век, дивясь тебе, пророчеств не достиг

И с лестью смешивал безумные упреки.

Выполнив задание 14.2 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы узнаете фамилию автора стихотворения - поэта серебряного века.

Фамилия автора стихотворения:




а) б) в) г) д)
Г.В.Лейбниц (1646-1716)
е)

           

Карта ответов:

Ч Б Ж Л Н
В И Ы Р
 
Е П К Ю
   
О М А
 
С Й  
   

&14.3. Выясните, как находится производная функции в точке.

?14.4. Найдите производную функции в указанной точке:

а) ;

б) .

&14.5. Выучите определение дифференциала функции и запомните формулу, которая используется для его нахождения.

?14.6. Найдите дифференциал функции:

а) ; б) .

¶ 14.7. Выясните, при каких значениях x производная функции отрицательна.

¶ 14.8. Найдите область определения функции, полученной в результате дифференцирования данной функции: .

&14.9.Выучите, какую функцию называют сложной. Запомните правило дифференцирования сложной функции. Изучите технику нахождения производной сложной функции.



?14.10. Найдите производную сложной функции:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; ¶е) ; ¶ж) .

?14.11. Найдите производную сложной функции в точке:

а) ; б) ; ¶в) .

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

или .
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функции есть некоторая функция , производная из данной функции. Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: или .

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Для нахождения производных основных элементарных функций удобно использовать следующую таблицу: «Формулы дифференцирования».

Формулы дифференцирования:

  1. c' = 0
  2. x' = 1
  3. (xn)' = п·xn-1
  1. (sin x)' = cos x
  2. (cos x)' = -sin x
  3. (tg x)' =
  4. (ctg x)' = -
 
6. (ex)' = ex 7. (ax)' = ax lna 8. (ln x)' = 9. (logax)' =
  1. (arcsin x)' =
  2. (arccos x)' =
  3. (arctgx)' =
  4. (arcctgx)' =

В ряде случаев, если функция представляет собой сумму, разность, произведение или частное двух функций, для нахождения ее производной используются правила дифференцирования.

Пусть u и v – дифференцируемые функции, с – константа. Тогда справедливы правила нахождения производной суммы, произведения и частного двух функций:

1. (cu)' = c u'

  1. (u ± v)' = u' ±v'
  2. (u∙v)' = u'v + v'u

Таким образом, для нахождения производной функции удобно использовать следующую технику. Определите, что представляет собой функция. Если она является основной элементарной – для нахождения производной сразу используйте таблицу «Формулы дифференцирования». В тех случаях, когда перед Вами сумма, разность, произведение или частное функций – сначала используйте соответствующее правило дифференцирования, затем (для дифференцирования основной элементарной функции) таблицу «Формулы дифференцирования».

Рассмотрим примеры решения типовых задач.

Пример 1.Найдите производную функции .

Решение. Функция представляет собой сумму и разность функций. Тогда для нахождения её производной воспользуемся правилом (u ± v)' = u' ±v':

.

Константу можно вынести за знак производной по правилу: (cu)' = c u'. Тогда

.

Далее воспользуемся формулами нахождения производных:

= .

Ответ: .

Пример 2.Найдите производную функции .

Решение. Функция представляет собой частное функций. Тогда для нахождения её производной воспользуемся правилом :

= = =

= . Ответ: .

Если производная функции в общем случае представляет собой некоторую функцию, то производная функции в точке является числом. Для нахождения производной функции в точке надо продифференцировать данную функцию, а затем в полученное выражение вместо аргумента подставить указанную точку.

Пример 3. Найдите производную функции в точке хо.

Решение. Сначаланайдем производную функции как производную произведения. Воспользуемся правилом (u·v)' = u'v + v'u:

= = .

Для нахождения производной функции в точке в производную вместо аргумента подставим :

Тогда = =1+1=2.

Ответ: =2.

Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ): . Поскольку дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: , дифференциал функцииравен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной:

Пример 4. Найдите дифференциал функции .

Решение. По формуле находим:

.

Ответ: .

Рассмотрим функции у=f(и) и и=g(x). Тогда функция у=f(g(x)) будет называться сложной функцией. Например, если , а , то будет являться сложной функцией.

Для нахождения производной сложной функции используется следующая теорема: если функция g(x) дифференцируема по переменной х, а функция f(и) дифференцируема по переменной и, то сложная функция у=f(g(x)) дифференцируема по переменной х, причем её производная вычисляется по формуле: у'х=f'(и)·g'(x).

Функцию f(и) называют основной функцией, а и – «сложностью». Тогда правило нахождения производной сложной функции будет иметь вид: производная сложной функции равна производной основной функции, умноженной на производную «сложности»: у'х=f'(и)·и'.

Для нахождения производных конкретных сложных функций целесообразно использовать следующую технику: принять какое-либо выражение за и, чтобы прийти к одной из формул таблицы «Формулы дифференцирования сложных функций».






Сейчас читают про: