2015-04-01
2485
Цель: формирование умения находить производные и дифференциалы функций, используя правила и формулы дифференцирования, технику дифференцирования сложной функции.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
& 14.1.Выучите определение производной функции в точке, с помощью таблицы «Формулы дифференцирования» проанализируйте, как находятся производные основных элементарных функций. Запомните правила дифференцирования функций и выясните, как они применяются. Изучите технику нахождения производной функции.
i 14.2. Найдите производную функции:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
Вам известно, что к созданию дифференциального исчисления одновременно и независимо друг от друга в семнадцатом веке пришли гениальные ученые Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц. Они использовали абсолютно разные подходы. Концепция Лейбница базировалась на введенном им понятии дифференциала. Однако в научных кругах достаточно долго не утихала бурная дискуссия о приоритете изобретения дифференциального исчисления. Вероятно, именно ее имел в виду замечательный русский поэт, когда писал такие строки:
О Лейбниц, о мудрец, создатель вещих книг!
Ты выше мира был, как древние пророки.
Твой век, дивясь тебе, пророчеств не достиг
И с лестью смешивал безумные упреки.
Выполнив задание 14.2 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы узнаете фамилию автора стихотворения - поэта серебряного века.
Фамилия автора стихотворения:
| а) | б) | в) | г) | д) |
| |
Карта ответов:
| Ч | Б | Ж | Л | Н |
 |  |  |  |  |
| В | И | Ы | Р | |
 |  |  |  | |
| Е | П | К | Ю | |
 |  |  |  | |
| О | М | А | ||
 |  |  | ||
| С | Й | |||
 |  |
& 14.3. Выясните, как находится производная функции в точке.
?14.4. Найдите производную функции в указанной точке:
а) 
;
б) 
.
& 14.5. Выучите определение дифференциала функции и запомните формулу, которая используется для его нахождения.
?14.6. Найдите дифференциал функции:
а) 
; б) 
.
¶ 14.7. Выясните, при каких значениях x производная функции 
отрицательна.
¶ 14.8. Найдите область определения функции, полученной в результате дифференцирования данной функции: 
.
& 14.9.Выучите, какую функцию называют сложной. Запомните правило дифференцирования сложной функции. Изучите технику нахождения производной сложной функции.
?14.10. Найдите производную сложной функции:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; ¶е) 
; ¶ж) 
.
?14.11. Найдите производную сложной функции в точке:
а) 
; б) 
; ¶в) 
.
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:
 или  . |
в точке 
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производная функции 
есть некоторая функция 
, производная из данной функции. Значение производной функции 
в точке 
обозначается одним из символов: 
или 
.
Функция , имеющая производную в каждой точке интервала 
, называется дифференцируемой на этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Для нахождения производных основных элементарных функций удобно использовать следующую таблицу: «Формулы дифференцирования».
Формулы дифференцирования:
| 6. (ex)' = ex 7. (ax)' = ax lna 8. (ln x)' =  9. (logax)' = 
|
В ряде случаев, если функция представляет собой сумму, разность, произведение или частное двух функций, для нахождения ее производной используются правила дифференцирования.
Пусть u и v – дифференцируемые функции, с – константа. Тогда справедливы правила нахождения производной суммы, произведения и частного двух функций:
1. (cu)' = c u'
- (u ± v)' = u' ±v'
- (u∙v)' = u'v + v'u
-
Таким образом, для нахождения производной функции удобно использовать следующую технику. Определите, что представляет собой функция. Если она является основной элементарной – для нахождения производной сразу используйте таблицу «Формулы дифференцирования». В тех случаях, когда перед Вами сумма, разность, произведение или частное функций – сначала используйте соответствующее правило дифференцирования, затем (для дифференцирования основной элементарной функции) таблицу «Формулы дифференцирования».
Рассмотрим примеры решения типовых задач.
Пример 1. Найдите производную функции 
.
Решение. Функция представляет собой сумму и разность функций. Тогда для нахождения её производной воспользуемся правилом (u ± v)' = u' ±v':
.
Константу можно вынести за знак производной по правилу: (cu)' = c u'. Тогда
.
Далее воспользуемся формулами нахождения производных:
= 
.
Ответ: 
.
Пример 2. Найдите производную функции 
.
Решение. Функция представляет собой частное функций. Тогда для нахождения её производной воспользуемся правилом :
= 
= 
=
= 
. Ответ: 
.
Если производная функции в общем случае представляет собой некоторую функцию, то производная функции в точке является числом. Для нахождения производной функции в точке надо продифференцировать данную функцию, а затем в полученное выражение вместо аргумента подставить указанную точку.
Пример 3. Найдите производную функции 
в точке хо=е.
Решение. Сначаланайдем производную функции как производную произведения. Воспользуемся правилом (u·v)' = u'v + v'u:
= 
= 
.
Для нахождения производной функции в точке в производную вместо аргумента подставим 
:
Тогда 
= 
=1+1=2.
Ответ: =2.
Дифференциалом функции 
в точке 
называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается 
(или 
): 
. Поскольку дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: 
, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной: 
Пример 4. Найдите дифференциал функции 
.
Решение. По формуле 
находим:
.
Ответ: 
.
Рассмотрим функции у=f(и) и и=g(x). Тогда функция у=f(g(x)) будет называться сложной функцией. Например, если 
, а 
, то 
будет являться сложной функцией.
Для нахождения производной сложной функции используется следующая теорема: если функция g(x) дифференцируема по переменной х, а функция f(и) дифференцируема по переменной и, то сложная функция у=f(g(x)) дифференцируема по переменной х, причем её производная вычисляется по формуле: у'х=f'(и)·g'(x).
Функцию f(и) называют основной функцией, а и – «сложностью». Тогда правило нахождения производной сложной функции будет иметь вид: производная сложной функции равна производной основной функции, умноженной на производную «сложности»: у'х=f'(и)·и'.
Для нахождения производных конкретных сложных функций целесообразно использовать следующую технику: принять какое-либо выражение за и, чтобы прийти к одной из формул таблицы «Формулы дифференцирования сложных функций».
