Все события окружающего нас мира происходят в пространстве. Пространство, в котором мы живём, называют физическим пространством. Когда же, пытаясь размышлять о нем, мы вырабатываем определенные понятия, возникает геометрическое пространство. Первое - исходный объект, второе - его образная модель.
В физическом пространстве нет точек, линий и поверхностей, а есть тела, предметы и другие объекты окружающего нас мира. В геометрическом пространстве наоборот: тела существуют лишь постольку, поскольку они формируются точками, линиями и поверхностями.
Пространство заполнено точками. Точка - это элементарный объект, т. к. она не может быть определена другими более элементарными понятиями.
Из точек складываются линии, в частности прямые линии. Из линий – поверхности, в частности «прямые» поверхности, т. е. плоскости.
В начертательной геометрии при получении изображений объектов необходимо, чтобы каждой точке пространства соответствовала точка на плоскости. Исходя из этого, при использовании метода проецирования (от латинского слова «projecere» - бросать вперед) через каждую точку объекта проводится линия до пересечения с плоскостью изображения.
|
|
В зависимости от вида проецирующей линии (прямая, кривая) различают аппарат прямолинейного или криволинейного проецирования. В данном учебном пособии излагается метод прямолинейного проецирования.
Проведение проецирующих прямых должно подчиняться определенному закону:
- если проецирующие прямые проходят через одну точку пространства, то имеем центральное проецирование;
- если проецирующие прямые проводятся параллельно какому-нибудь направлению, то получим параллельное проецирование.
При центральном проецировании аппарат проецирования(рис. 1.1) состоит:
- из плоскости П1, называемой плоскостью проекций;
- из точки S, называемой центром проекций.
Чтобы спроецировать точку A пространства на плоскость П1, проводим через нее и центр проекций S проецирующий луч до пересечения с плоскостью проекций П1. Получим точку A1, которую называют центральнойпроекциейточки А.
Если на проецирующем луче А1S взять другую точку В, то ее центральная проекция В1 совпадает с А1. Следовательно, при заданных плоскости проекций и центре проекций можно построить проекцию любой точки, но, имея центральную проекцию точки, нельзя по ней однозначно определить положение самой точки в пространстве.
Каждую пространственную фигуру можно рассматривать как совокупность (множество) точек. Однако, для построения проекции фигуры в некоторых случаях не обязательно проецировать все ее точки. Так, проекция отрезка прямой линии АС вполне определяется проекциями двух точек А1 и С1 (рис. 1.1).
|
|
Центральная проекция обладает следующими свойствами.
1. Проекцией точки является точка (однозначность).
2. Проекцией прямой является прямая (коллинейность).
3. Точка (например М), принадлежащая прямой, проецируется в точку (М1), принадлежащую проекции этой прямой (инцидентность).
Изображения объектов, полученных методом центрального проецирования, отличаются большой наглядностью, но они сложны при построении. Поэтому большее распространение получило параллельное проецирование.
Параллельной проекцией точки А является точка А1 проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению S до пересечения с плоскостью проекций П1 (рис. 1.2).
Чтобы получить параллельную проекцию некоторой линии, например m (рис.1.2), можно построить проекции ряда ее точек и провести через эти проекции линию m1.
Параллельная проекция, являясь частным случаем центральной проекции, сохраняет все ее свойства. В то же время, параллельные проекции обладают свойствами, отличающими ее от центральной проекции.
4. Если прямые параллельны (например l и m на рис. 1.2), то при параллельном проецировании их проекции (l1 и m1) или параллельны, или совпадают, или обе прямые проецируются в точки.
5. Отношение проекций отрезков, лежащих на параллельных прямых или одной и той же прямой, равно отношению самих отрезков. Например, если точка B ( рис. 1.2) принадлежит отрезку АC, то при параллельном проецировании выполняется простое отношение трех точек:
.
Еще большее упрощение построения изображения дает применение ортогонального проецирования, являющегося частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекций П1. .
В ортогональной проекции просто устанавливается соотношение между длиной натурального отрезка и длиной ее проекции. Это соотношение является шестым свойством линейного параллельного ортогонального проецирования.
6. Если отрезок АВ образует с плоскостью проекций угол α, то, проведя ( рис. 1.3), получим из прямоугольного треугольника АВ*В:
AB* = AB cos α
или A1B1 = AB cos α.
Рассмотренные выше методы проецирования позволяют однозначно отображать любую точку (и все множество точек) пространства на плоскость проекций, при этом обратную задачу по реконструкции объекта в пространстве решить не представляется возможным.
Так как проекционные изображения должны отвечать требованию обратимости, то возникла задача по дополнению однокартинных проекционных изображений необходимыми данными. Существуют различные методы такого дополнения.