Методы приведения сил и масс

Механизм представляет собой сложную систему звеньев, нагруженных различными силами и моментами. Чтобы упростить определение закона движения такой сложной системы, применяют метод приведения сил и масс, который позволяет заменить реальный механизм некоторой эквивалентной (расчетной) схемой - одномассовой динамической моделью механизма (рис. 16). Вращающееся звено динамической модели двинется так, что его координата совпадает в любой момент времени с координатой начального звена механизма (обобщенной координатой механизма): . К звену модели приложен приведенный момент сил , а момент инерции этого звена относительно оси вращения является суммарным приведенным моментом инерции механизма .

а) метод приведения, сил и моментов пар сил

Суммарный приведенный момент заменяет все силы и моменты, приложенные к различным звеньям механизма, и равен

(24)

Величина каждого определяется из условия равенства элементарных работ действительной силы (или момента) и приведенного момента на возможных перемещениях. Приведенный момент , заменяющий действительную силу P, приложенную в точке K некоторого звена механизма, определяется по формуле

(25)

где - линейная спорость точки K приложения силы;

- угловая скорость звена динамической модели, равная угловой скорости начального звена механизма.

Отношение скоростей м/рад в литературе называют аналогом линейной скорости точки K, или передаточной функцией.

Приведенный момент , заменяющий действительный момент M, приложенный к i -му звену механизма, определяется по формуле

(26)

где - угловая скорость i -ого звена.

Отношение угловых скоростей передаточная функция (передаточное отношение).

Знак приведенного момента определяется знаком действительной силы: если действительная сила (или момент) положительна, т.е. совершает положительную работу, то и приведенный момент положителен, т.е. направлен по угловой скорости звена динамической модели. Следовательно, в формуле (25) берется по абсолютной величине.

Отношения скоростей зависят от положения механизма, а не от скорости его движения. Следовательно, приведение сил может выполняться без знания действительного закона движения звеньев.

Пример. Рассмотрим определение приведенных моментов, заменяющих действительные силы и моменты, приложенные к звеньям механизма двухцилиндрового двигателя (см. рис. 13). К данному механизму приложены и - движущие силы, действующие на звенья 3 и 5; , , , , - силы тяжести звеньев; - приложенный к звену 1 момент сопротивления со стороны той рабочей машины, которую приводит в движение двигатель. Начальный звеном механизма является коленчатый вал двигателя - звано 1, имеющее угловую координату и вращающееся с угловой скоростью . Звено динамической модели имеет угловую координату и вращается с угловой скоростью . В каждый момент времени координаты и их производные по времени совпадают: ; .

Для определения величины приведенного момента , заменяющего движущую силу , воспользуемся формулой (25), которая примет вид

(27)

так как

Передаточную функцию , найдем, построив для рассматриваемого положения механизма план возможных скоростей (т.е. без масштаба, для произвольной величины , задавшись постоянный отрезком ) (рис. 17). Тогда

где - длина кривошипа;

и - отрезки, изображающие скорости и .

Величину силы в каждом положении механизма следует взять из построенного ранее графика (см. рис.13). Знак момента определяется знаком силы . Момент следует вычислить для каждого положения механизма и затем построить график изменения приведенного момента .

На графиках приведенных моментов здесь и далее по оси абсцисс следует откладывать угол поворота - звена динамической модели. Для нашего примера в каждый момент времени ( - угол поворота начального звена 1). Угол удобно отсчитывать от мертвого положения механизма, принятого за начальное. Так как цикл работы механизма в рассматриваемом случае равен двум оборотам звена 1, то по оси абсцисс следует отложить угол рад. Если база графика равна b мм, то масштаб по оси абсцисс равен мм/рад.

Масштаб по оси ординат графика назначается с учетом желаемой максимальной ординаты:

(28)

Заметим, что в тех машинах (двухтактный двигатель внутреннего сгорания, компрессор, ковочный пресс и др.), где продолжительность цикла равна одному обороту начального звена, по оси абсцисс следует отложить угол рад.

Примерный вид графика представлен на рис. 18.

Результаты расчета рекомендуется поместить в расчетно-пояснительной записке в виде таблицы по следующему образцу

Величина	Размерность	Положения механизма
			…
	мм
	Н
	мм
	–
	м

Момент , заменяющий силу , определяется аналогично. График построен с учетом того, что рабочий процесс в правом цилиндре сдвинут по фазе на угол по отношению к процессу в левом цилиндре (рис. 18).

При построении графиков приведенных моментов для многоцилиндровых машин следует обязательно учитывать угол сдвига фаз рабочих процессов в цилиндрах машины.

Найдем приведенные моменты, заменяющие силы тяжести звеньев.

Приведенный момент , заменяющий силу тяжести звена 1, равен

так как скорость точки O .

Приведенный момент , заменяющий силу тяжести звена 2, равен

(29)

где отношение скоростей находим с помощью плана возможных скоростей по формуле

Так как зависит от положения механизма, то следует найти его значение для каждого положения и затем построить график .

Аналогично определяется приведенный момент , заменяющий силу тяжести звена 4.

Приведенный момент , заменяющий силу тяжести звена 3, равен

так как

Аналогично .

Во многих машинах приведенные моменты от сил тяжести звеньев малы (по сравнению с приведенными моментами от сил движущих и сопротивления) и ими можно пренебречь.

Приведенный момент , заменяющий момент сопротивления найдем по формуле (26), которая примет вид

(30)

В данном случае приведенный момент равен действительному монету , так как последний приложен к начальному звену.

Зная в каждом положении механизма величины приведенных моментов, можно, сложив их алгебраически, получить суммарный приведенный момент

(31)

и построить график .

Момент , приложенный к звену динамической модели, производит ту же роботу, что и все реальные силы и моменты, приложенные к различным звеньям механизма.

б) Метод приведения масс

В основу метода приведения масс положено условие равенства кинетической энергии всех звеньев механизма и звена динамической модели. В этом случае закон движения последнего будет таким же, как и закон движения начального звена реального механизма.

Для определения приведенного момента инерции каждого звена механизма необходимо составить равенство кинетических энергий рассматриваемого звена и звена модели.

В зависимости от характера движения звена существуют следующие варианты равенстве кинетических энергий:

1. При поступательном движении i-го звена механизма

откуда

(32)

2. При вращательном движении звена вокруг неподвижной оси K

откуда

(33)

3. При плоскопараллельном движении звена

откуда

(34)

где , - передаточные функции.

Суммарный приведенный момент инерции всего механизма равен сумме приведенных моментов инерции всех его звеньев и зависит от положения механизма:

(35)

зависит от отношения скоростей и может определяться без учета действительного закона движения звеньев.

В качества примера определим суммарный приведенный момент инерции механизма, изображенного на рис. 13. Звено 1 - начальное звено механизма. Приведенный момент инерции звена 3 находится по формуле