Частичные проблемы собственных значений

Часто в практических вычислениях нужны не все собственные значения, а лишь некоторые из них.

Для решения частичной проблемы собственных значений, состоящей в определении одного или нескольких собственных значений и соответствующих им собственных векторов, обычно используют итерационные методы. Строится такой итерационный процесс, который сходится к одному собственному значению и собственному вектору, причем используемые алгоритмы весьма экономичны.

Построим итерационный процесс, применяя метод итераций к решению систем уравнений

(11)

Представим (11) через вспомогательный вектор у:

(12)

Пусть х (0)–начальное приближение собственного вектора х, причем собственные векторы на каждой итерации нормированы, так что

Используя соотношение (12), получим:

или, применяя умножение обеих частей равенства скалярно на х (0), получим , учитывая, что , запишем

Следующие приближения можно вычислить, нормируя у(1). Окончательно итерационный процесс записывается в виде:

(13)

Процесс (13) продолжается до установления постоянных значений λ и х. При этом нужно учесть, что, применяя критерии завершения итераций, следует проверять близость векторов и .

Можно показать, что найденное значение λ является наибольшим по модулю собственным значением данной матрицы А, а х – соответствующим ему вектором.

Скорость сходимости этого итерационного процесса зависит от удачного выбора начального приближения.

Для решения системы (11) можно использовать и другие итерационные методы.

В некоторых задач нужно искать не наибольшие, а наименьшие по модулю собственные значения матрицы А. В этом случае можно умножить (11) на матрицу А -1

(14)

(15)

Следовательно, 1/ l является собственным значением обратной матрицы, и задача (15) отличается от ранее рассмотренной тем, что здесь будет вычисляться наибольшее по модулю собственное значение1/ l матрицы А –1, что будет достигнуто при наименьшем по модулю λ.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  




Подборка статей по вашей теме: