Линейная зависимость. Понятие базиса

Определение 16. Векторы , называют линейно зависимыми, если существуют числа ,

(***)

Это определение линейной зависимости векторов , эквивалентно такому: векторы , линейно зависимы, если один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных (или разложить по остальным).

Векторы , называются линейно зависимыми, если равенство (***) возможно в единственном случае, когда

Понятие линейной зависимости играет большую роль в линейной алгебре. В векторной алгебре линейная зависимость имеет простой геометрический смысл.

1) Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два неколлинеарных вектора линейно независимы.

2) Три компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, три некомпланарных вектора линейно независимы.

3) Каждые четыре вектора линейно зависимы.

Определение 17. Три линейно независимых вектора называются базисом пространства, т.е. любой вектор может быть представлен в виде некоторой .

Определение 18. Два лежащих в плоскости линейно независимых вектора называют базисом плоскости, т.е. любой лежащий в этой плоскости вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов .