Прямоугольная декартова система координат

Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная декартова система координат.

Определение 1. Декартова система координат на плоскости называется прямоугольной, если и – ортогональные единичные векторы.

Аналогично определяется прямоугольная декартова система координат в пространстве; в этом случае векторы также являются взаимно перпендикулярными и единичными. Базисные векторы прямоугольной декартовой системы координат на плоскости обозначают обычно базисные векторы прямоугольной декартовой системы координат обозначают Соответственно разложение радиус-вектора по базису записывают в виде

Определение 2. Проекцией вектора на единичный вектор называется число где угол между векторами

Координаты вектора полученные как коэффициенты линейной комбинации базисных векторов, в прямоугольном базисе совпадают с проекцией вектора на базисные орты соответственно, а длина вектора равна

Определение 3. Числа называется направляющими косинусами вектора

Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами (проекциями) его орта и между собой связаны соотношением

Отметим, что базис называют ортонормированным, так как

Пример 1. Заданы векторы Найти:

а) координаты вектора

б) координаты вектора

в) разложение вектора по базису

г)

Решение.

а) Так как по формуле│

│ = Тогда

б) Вычислим координаты вектора

в)

г)

Ответ:

б)

в)

Замечание. Если известны координаты точек , то проекции X, Y, Z на оси координат вектора могут быть получены по формулам

то расстояние d между данными точками определяется формулой:

Если точка лежит на прямой, проходящей через две данные точки и дано отношение в котором точка M делит отрезок , то координаты точки M определяются по формулам: