Интервальные оценки неизвестных параметров

2.3.1. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины , если известны дисперсия , выборочное среднее , объем выборки и доверительная вероятность :

а)

б)

в)

2.3.2. Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений м произведено пять равноточных измерений высоты полета аппарата. Найти доверительный интервал для истинной высоты полета с надежностью , зная среднее арифметическое результатов измерений м, и предполагая, что результаты измерений распределены нормально.

2.3.3. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания случайной величины по выборочному среднему равна 0,3, если известна дисперсия .

2.3.4. Построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины , если известны выборочное среднее , выборочная дисперсия , объем выборки и доверительная вероятность :

а)

б)

в)

2.3.5. По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и выборочное среднее квадратическое отклонение . Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью . Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

2.3.6. Построить доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной случайной величины , если известны выборочная дисперсия , объем выборки и доверительная вероятность :

а) б)

в)

2.3.7. Зная выборочную дисперсию и объем выборки из нормальной генеральной совокупности, построить точный и приближенный доверительные интервалы для неизвестной дисперсии , отвечающие доверительной вероятности . Сравнить полученные результаты.

2.3.8. Построить доверительный интервал для математического ожидания случайной величины , имеющей биномиальное распределение , если выборочное среднее , а объем выборки . Доверительную вероятность принять равной .

2.3.9. Зная объем выборки , выборочное среднее , выборочную дисперсию и выборочный центральный момент , найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии случайной величины Х, имеющей показательное распределение с плотностью вероятностей . Доверительную вероятность принять равной .

2.3.10. Показать, что в случае экспоненциального распределения с плотностью вероятностей , -доверительный интервал для имеет вид: , где .

2.3.11. Пусть , и - соответственно объем, выборочное среднее и дисперсия выборки из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение с неизвестными параметрами. Показать, что с вероятностью результат следующего, -го, наблюдения находится в интервале:

.

2.3.12. В результате пяти независимых взвешиваний одного и того же тела получены следующие результаты (в граммах): (4,12; 3,92; 4,55; 4,04; 4,35). Считая погрешности измерений нормальными случайными величинами, указать доверительные границы для результатов предстоящего шестого взвешивания (доверительную вероятность принять равной ).