Необходимое условие экстремума

Введем еще некоторые понятия.

Точки, в которых производная функции f (x) равна нулю, называются стационарными точками.

Точки, в которых производная функции f (x) равна нулю либо не существует, называются критическими точками данной функции. Следовательно, стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Необходимое условие экстремума формулируется следующим образом:

Если точка x ₀ является точкой экстремума функции f (x), то в этой точке либо производная равна нулю, либо не существует. Другими словами, экстремумы функции содержатся среди ее критических точек.

Доказательство необходимого условия экстремума следует из теоремы Ферма.

Отметим, что выполнение необходимого условия еще не гарантирует существование экстремума. Классической иллюстрацией здесь является кубическая функция f (x) = x ³. Несмотря на то, что в точке x = 0производная данной функции равна нулю: f ' (x = 0) = 0, эта точка не является экстремумом.

Экстремумы дифференцируемых функций существуют при выполнении достаточных условий. Эти условия основаны на использовании производной первого, второго или высшего порядка. Соответственно, рассматриваются 3 достаточных условия экстремума. Перейдем к их формулировке и доказательству.