2015-04-08
3910
Методика построения доверительных интервалов для параметра q распределения вероятностей:
1) из генеральной совокупности значений случайной величины X, имеющей функцию распределения F (x, q), извлекается выборка объема n;
2) по результатам выборки находится точечная оценка 
параметра q распределения вероятностей;
3) составляется вспомогательная случайная величина 
, закон распределения вероятностей 
которой известен;
4) задается доверительная вероятность 
;
5) используя плотность распределения вероятностей случайной величины Z, находят такие два числа Z 1 и Z 2 (рисунок 1), что
; (1)
; 
;
6) как только Z 1 и Z 2 найдены, двойное неравенство 
решается относительно q и получается искомый интервал 
.
Рисунок 1 – Двусторонняя критическая область статистического критерия
3 Доверительные интервалы для математического ожидания
и дисперсии случайной величины,
имеющей нормальное распределение
Пусть вероятностный эксперимент описывается случайной величиной X и известно, что X подчиняется нормальному закону распределения вероятностей
, 
,
где 
– среднее квадратическое отклонение случайной величины X, причем значения a и нам неизвестны;
Построим доверительный интервал 
для неизвестного значения a математического ожидания. Воспользуемся алгоритмом, изложенным в пункте 2:
1) извлечем выборку 
объема n из генеральной совокупности;
2) по выборке найдем точечные оценки параметров a и :
, 
;
3) составим случайную величину
. (2)
Доказано, что случайная величина t имеет распределение Стьюдента с 
степенями свободы;
4) зададим доверительную вероятность 
;
5) найдем t 1 и t 2 такие, что
, (3)
где 
– плотность распределения Стьюдента, график которой изображен на рисунке 2.
Рисунок 2 – Плотность распределения Стьюдента
Поскольку кривая плотности распределения Стьюдента симметрична относительно вертикальной оси, мы можем выражение (3) записать так
,
пользуясь таблицей значений t -распределения (приложение Б), найдем значение 
;
6) полагая известными значения 
и 
, запишем из (3) выражение в скобках
(подставим выражение для t из (2)) =
.
Решим двойное неравенство относительно a:
. (4)
Таким образом, мы построили доверительный интервал (4) для параметра a.
Для построения интервальной оценки 
неизвестной дисперсии 
воспользуемся тем, что случайная величина 
подчинена 
-распределению с (n – 1) степенями свободы. Поэтому
, (5)
где 
– 
– процентная точка -распределения с (n – 1) степенями свободы;
– 
– процентная точка -распределения с (n – 1) степенями свободы (приложение В). Разрешая неравенство (5) относительно , получим случайный доверительный интервал для неизвестного параметра
. (6)
Соответственно доверительный интервал 
для среднего квадратического отклонения имеет вид
, (7)
и таким образом мы построили доверительный интервал для параметра .
Замечание – Если случайная величина X имеет произвольную функцию распределения 
, по формулам (4) и (7) можно строить приближенные доверительные интервалы соответственно для математического ожидания и среднего квадратического отклонения, если объем выборки достаточно велик, 
.
Пример 1 Из многочисленного коллектива работников фирмы случайным образом отобрано n = 25 работников. Средняя заработная плата этих работников составила 
д.е. при выборочном среднеквадратическом отклонении 
д.е. Требуется с доверительной вероятностью 
определить интервальную оценку:
а) для средней месячной заработной платы на фирме;
б) суммы затрат фирмы на заработную плату отдела, состоящего из 520 сотрудников.
Решение. 1) Среднемесячная заработная плата на фирме характеризуется генеральной средней a. Требуется найти интервальную оценку 
параметра a с доверительной вероятностью . Согласно (4) имеем
,
где 
– -процентная точка 
-распределения (распределения Стьюдента). По таблице (см. приложение Б) распределения Стьюдента находим 
. Поэтому
.
Таким образом, с вероятностью можно гарантировать, что средняя заработная плата на фирме находится в пределах: 
.
2) Средняя сумма затрат фирмы на заработную плату отдела из N сотрудников составит 
д.е. Следовательно, с вероятностью можно утверждать, что затраты фирмы на заработную плату отдела не выйдут за пределы интервала:
,
.
Пример 2 При анализе точности фасовочного автомата было проведено n = 24 контрольных взвешиваний пятисотграммовых пачек кофе. По результатам измерений рассчитано выборочное среднее квадратическое отклонение 
г. Требуется с доверительной вероятностью оценить точность фасовочного автомата, то есть определить интервальную оценку s.
Решение. Согласно (6) интервальная оценка дисперсии
.
По таблице процентных точек -распределения (см. приложение В) найдем
;
.
Следовательно,
.
Значит с доверительной вероятностью можно утверждать, что истинное значение среднего квадратического отклонения s будет находиться в интервале
Предположив, что ошибка фасовочного автомата есть нормально распределенная случайная величина с нулевой средней и среднеквадратическим отклонением s, можно с вероятностью 0,954 утверждать, что вес пачек кофе будет в пределах
.
