Определение случайного процесса (СП). Эквивалентность случайных процессов

ОПР: СВ x - называется измеримое отображение: (W, F) ® (, B), где

B - борелевская s-алгебра на евклидовом пр-ве , d = 1.

ОПР: СП называется семейство СВ, зависящее от параметрического множества Т: {x(t), t ÎT}

ОПР: СП – функция 2-х переменных x(t, w). Функция x(t, w), как функция от t при " фикс. w

x(×, w) или называется траекторией или реализацией СП.

Мн-во исходов W удобно трактовать как набор реализаций, т.о. W выступает как пр-во ф-ций.

ОПР: СП x(t), Т = [a,b] называется измеримым, если x(t, w): явл-ся измеримым относительно s-алгебры, порождаемой борелевскими множествами и s-алгеброй F: s(B ´ F)

ОПР: s-алгебра, порожденная процессом, - это наименьшая s-алгебра цилиндрических мн-в:

ОПР: Случайные процессы x(t) и h(t) называются стохастически эквивалентными или эквивалентными в узком смысле, если они определены на одном параметрическом мн-ве Т и одном вероятностном пространстве (W,F, Р) и

" t ÎT Р (x(t) = h(t)) = 1, где x(t), h(t) – одномерные величины при фикс. t

ОПР: Два стохастически эквивалентных процесса называются модификациями друг друга.

С каждым процессом связан набор конечномерных распределений (КМР), который задается:

" набора Î B

- n -мерное распределение.

При изменении параметра из Т и из B будем иметь совокупность – она и есть набор КМР.

ОПР: Два СП, заданных на одном и том же параметрическом множестве, называются эквивалентными в широком смысле (слабом смысле), если у них совпадают наборы КМР.

УТВ: Эквивалентность в узком смысле Þ эквивалентность в широком смысле.