Разложение (Дуба) для субмартингалов. Квадратичная характеристика мартингала

А этот билет находится в конспекте – после параграфа о тождествах Вальда.

ОПР: процесс , n = 1,2,… называется предсказуемым относительно потока s-алгебр ,

если " n измерим относительно , = 0

Теорема (разложение Дуба):

Пусть - субмартингал относительно потока .

Тогда $ - мартингал относительно , и возрастающий предсказуемый процесс

относительно этого потока, такие, что

= + п.н.

и такое представление единственно.

ОПР: Пусть - мартингал и $ , " n тогда - наз-т квадратично-интегрируемым.

По теореме Дуба о разложении, такой мартингал можно представить в виде: ,

где - мартингал отн-но , а - возрастающий предсказуемый процесс. Для квадратично-интегрируемого мартингала этот процесс называется компенсатором.

УТВ: Компенсатор =

(сумма условных квадратичных приращений (вариаций) по непересекающимся интервалам)